Küçücük bir determinant, bir matrisin şartsız hale getirilmesi anlamına mı geliyor?

Eğer bir kare ters çevrilebilir matrisim varsa ve onun determinantını ve olduğunu tespit edersem , bu matrisin kötü şartlandırılmış olduğu anlamına mı gelir? $\det(A) \approx 0$

Konuşma da doğru mu? Hastalıklı bir matrisin neredeyse sıfır determinantı var mı?

Octave'da denediğim bir şey var:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— tahkikat
kaynak

Belirleyici matrisin düzenli mi tekil mi olduğunu gösterir. İyi ya da şartlandırılmış olup olmadığını göstermez.

— Allan P. Engsig-Karup,

Determinantın büyüklüğü kötü şartlandırmayı yansıtamaz:

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$ ama

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$ .

— faleichik

Bir yerde bir

\approx

$\approx$ veya

olmalı

\neq

$\ne$ ?

— Soruşturma

: Daha fazla matris spektrumları üzerinde kayan nokta matematik etkileri hakkında öğrenme ilgilenen ediyorsanız, Nick Trefethen kitabını kontrol etmelidir Spectra ve Pseudospectra: normal olmayan Matriks ve Operatörleri Davranışı ve Pseudospectra Geçidi .

— Aron Ahmadia

Yanıtlar:

Bu , determinantın doğruluğunu değil, tekilliğe olan yakınlığı ölçen koşul numarasının büyüklüğüdür . $\kappa(\mathbf A)$

Örneğin, köşegen matris $10^{-50} \mathbf I$ küçük belirleyici var, ancak şartlandırılmış.

Kapak tarafında, Alexander Ostrowski (ve aynı zamanda Jim Wilkinson tarafından çalışılmıştır) nedeniyle aşağıdaki kare üst üçgen matris ailesini düşünün :

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

Belirleyici matris her zaman , ancak küçük tekil değere büyük oranı (yani, 2-norm durum numarası ) Ostrowski tarafından eşit olduğu ve arttığı görülebildiği gösterilmiştir . $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
kaynak

@ İsimsiz: kesinlikle değil; Ayrıntılara girmeden önce, tekil değer ayrışmasına aşina mısın?

— JM

Çok iyi. Tüm bilmen gereken bu. Buradaki fikir, şartlandırma ile ilgili çok önemli bilgilerin . Özellikle, bu matrisin köşegenindeki en büyük ve en küçük değerleri (ayrıştırmanın, köşegen girdilerinin negatif olmayacağı şekilde tanımlandığını tanımlayın) unutmayın . En büyüğünün en küçük çapraz girişine oranı, koşul numarasıdır . İlgilenmeniz gereken durum numarası ne büyüklükte çalışacağınız makineye göre değişir ...

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— JM

Bu matris ile doğrusal denklemleri çözerken ... ama genel olarak, kaybedecek standı base çözümünüzdeki basamak. Bu durum numarası için kaba bir kuraldır; bu nedenle, yalnızca 16 basamakla çalışıyorsanız , bir endişeye neden olabilir.

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— JM

Evet, ancak durum numarasını belirlemek için önerilen yöntem bu değildir (bunun açıklaması başka bir soru içindir). Çapraz matrisin nasıl ters çevrileceğini bildiğinizi varsayıyorum.

— JM

"Regd. Rakamların kaybı, bana bunun için bir referans verebilir misiniz?" - Olabilirdi, ama bu gerçekten takviye için bir bilgisayar ortamında kendi başına denemeniz gereken şeylerden biri.

— JM

As , belirleyici (koşul sayısını değiştirmez) basit yeniden ölçeklendirme ile keyfi büyük veya küçük yapılabilir. Özellikle yüksek boyutlarda, masum bir faktör 2 ile ölçeklendirmek bile belirleyiciyi büyük miktarda değiştirir. $\det(kA)=k^n\det A$

Bu yüzden hiçbir zaman determinantı durumu veya tekilliğe yakınlığı değerlendirmek için kullanmayın.

Diğer taraftan, hemen hemen tüm iyi konumlandırılmış sayısal problemler için durum, sorunu kötü duruma getirmek için gereken en küçük göreceli bozulma anlamında, tekilliğe olan uzaklıkla yakından ilgilidir. Özellikle, bu doğrusal sistemler için geçerlidir.

— Arnold Neumaier
kaynak