İçin hızlı açık çözüm

3x3 doğrusal gerçek sorun hızlı bir çözüm (en uygun demeye cesaret?) Arıyorum, $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$, $\mathbf{A} \in \mathbf{R}^{3 \times 3}, \mathbf{b} \in \mathbf{R}^{3}$.

Matris $\mathbf{A}$ geneldir ancak 1'e yakın bir koşul numarasıyla kimlik matrisine yakındır. $\mathbf{b}$ aslında yaklaşık 5 basamaklı sensör ölçümleri, sayısal sorunlar nedeniyle birkaç basamak kaybetmeyi umursamıyorum.

Tabii ki, herhangi bir sayıda yönteme dayanan açık bir çözüm bulmak zor değildir, ancak FLOPS sayımı açısından optimal olduğu gösterilen bir şey varsa, bu ideal olacaktır (sonuçta, tüm sorun büyük olasılıkla FP kayıtlarına sığacaktır!).

(Evet, bu rutin sık sık denir . Zaten düşük asılı meyveden kurtuldum ve bu bir sonraki profilleme listemde ...)

Açık bir formülü yenemezsin. Çözüm için formülleri yazabilirsiniz$x=A^{-1}b$bir parça kağıt üzerinde. Derleyicinin işleri sizin için optimize etmesine izin verin. Başka herhangi bir yöntem neredeyse kaçınılmaz olarak kodunuzu herhangi bir düz satır kodundan daha yavaş yapacak ififadelere veya fordöngülere (örneğin yinelemeli yöntemler için) sahip olacaktır.

Matris kimliğe çok yakın olduğu için, aşağıdaki Neumann serisi çok hızlı bir şekilde birleşecektir:

Gereken doğruluğa bağlı olarak, 2 terimden sonra kesilecek kadar iyi olabilir:

Bu, daha az doğrulukla, doğrudan bir formülden (Wolfgang Bangerth'ın cevabında önerildiği gibi) biraz daha hızlı olabilir.

3 terimle daha fazla doğruluk elde edebilirsiniz:

ancak giriş giriş formülünü yazarsanız, $(3I - 3A + A^2)b$, doğrudan 3x3 matris ters formülü olarak karşılaştırılabilir bir kayan nokta işlemi miktarına bakıyorsunuz (yine de bir bölüm yapmak zorunda değilsiniz, bu da biraz yardımcı olur).

FLOPS yukarıdaki önerilere göre sayılır:

• LU, pivot yok:

  • Mul = 11, Div / Recip = 6, Add / Sub = 11, Toplam = 28; veya
  • Mul = 16, Div / Recip = 3, Add / Sub = 11, Toplam = 30

• Geri ikame ile Gauss eliminasyonu, pivot yok:

  • Mul = 11, Div / Recip = 6, Add / Sub = 11, Toplam = 28; veya
  • Mul = 16, Div / Recip = 3, Add / Sub = 11, Toplam = 30

• Kofaktör genişlemesi yoluyla Cramer kuralı

  • Mul = 24, Div = 3, Toplama / Alt = 15, Toplam = 42; veya
  • Mul = 27, Div = 1, Ekle / Alt = 15, Toplam = 43

• Açık Inverse sonra çarpın:

  • Mul = 30, Div = 3, Add / Sub = 17, Toplam = 50; veya
  • Mul = 33, Div = 1, Ekle / Alt = 17, Toplam = 51

MATLAB kavram kanıtı:

Cofactor Genişletme Yoluyla Cramer Kuralı :

function k = CramersRule(A, m)
%
% FLOPS:
%
% Multiplications:        24
% Subtractions/Additions: 15
% Divisions:               3
%
% Total:                  42

a = A(1,1);
b = A(1,2);
c = A(1,3);

d = A(2,1);
e = A(2,2);
f = A(2,3);

g = A(3,1);
h = A(3,2);
i = A(3,3);

x = m(1);
y = m(2);
z = m(3);

ei = e*i;
fh = f*h;

di = d*i;
fg = f*g;

dh = d*h;
eg = e*g;

ei_m_fh = ei - fh;
di_m_fg = di - fg;
dh_m_eg = dh - eg;

yi = y*i;
fz = f*z;

yh = y*h;
ez = e*z;

yi_m_fz = yi - fz;
yh_m_ez = yh - ez;

dz = d*z;
yg = y*g;

dz_m_yg = dz - yg;
ez_m_yh = ez - yh;


det_a = a*ei_m_fh - b*di_m_fg + c*dh_m_eg;
det_1 = x*ei_m_fh - b*yi_m_fz + c*yh_m_ez;
det_2 = a*yi_m_fz - x*di_m_fg + c*dz_m_yg;
det_3 = a*ez_m_yh - b*dz_m_yg + x*dh_m_eg;


p = det_1 / det_a;
q = det_2 / det_a;
r = det_3 / det_a;

k = [p;q;r];

LU (pivot yok) ve geri değiştirme:

function [x, y, L, U] = LUSolve(A, b)
% Total FLOPS count:     (w/ Mods)
%
% Multiplications:  11    16
% Divisions/Recip:   6     3
% Add/Subtractions: 11    11
% Total =           28    30
%

A11 = A(1,1);
A12 = A(1,2);
A13 = A(1,3);

A21 = A(2,1);
A22 = A(2,2);
A23 = A(2,3);

A31 = A(3,1);
A32 = A(3,2);
A33 = A(3,3);

b1 = b(1);
b2 = b(2);
b3 = b(3);

L11 = 1;
L22 = 1;
L33 = 1;

U11 = A11;
U12 = A12;
U13 = A13;

L21 = A21 / U11;
L31 = A31 / U11;

U22 = (A22 - L21*U12);
L32 = (A32 - L31*U12) / U22;

U23 = (A23 - L21*U13);

U33 = (A33 - L31*U13 - L32*U23);

y1 = b1;
y2 = b2 - L21*y1;
y3 = b3 - L31*y1 - L32*y2;

x3 = (y3                  ) / U33;
x2 = (y2 -          U23*x3) / U22;
x1 = (y1 - U12*x2 - U13*x3) / U11;

L = [ ...
    L11,   0,   0;
    L21, L22,   0;
    L31, L32, L33];

U = [ ...
    U11, U12, U13;
      0, U22, U23;
      0,   0, U33];

x = [x1;x2;x3];
y = [y1;y2;y3];

Açık Inverse sonra Çarpma:

function x = ExplicitInverseMultiply(A, m)
%
% FLOPS count:                  Alternative
%
% Multiplications:        30            33
% Divisions:               3             1
% Additions/Subtractions: 17            17
% Total:                  50            51


a = A(1,1);
b = A(1,2);
c = A(1,3);

d = A(2,1);
e = A(2,2);
f = A(2,3);

g = A(3,1);
h = A(3,2);
i = A(3,3);

ae = a*e;
af = a*f;
ah = a*h;
ai = a*i;

bd = b*d;
bf = b*f;
bg = b*g;
bi = b*i;

cd = c*d;
ce = c*e;
cg = c*g;
ch = c*h;

dh = d*h;
di = d*i;

eg = e*g;
ei = e*i;

fg = f*g;
fh = f*h;

dh_m_eg = (dh - eg);
ei_m_fh = (ei - fh);
fg_m_di = (fg - di);

A = ei_m_fh;
B = fg_m_di;
C = dh_m_eg;
D = (ch - bi);
E = (ai - cg);
F = (bg - ah);
G = (bf - ce);
H = (cd - af);
I = (ae - bd);

det_A = a*ei_m_fh + b*fg_m_di + c*dh_m_eg;

x1 =  (A*m(1) + D*m(2) + G*m(3)) / det_A;
x2 =  (B*m(1) + E*m(2) + H*m(3)) / det_A;
x3 =  (C*m(1) + F*m(2) + I*m(3)) / det_A;

x = [x1;x2;x3];

Gauss elimine etme:

function x = GaussianEliminationSolve(A, m)
%
% FLOPS Count:      Min   Alternate
%
% Multiplications:  11    16
% Divisions:         6     3
% Add/Subtractions: 11    11
% Total:            28    30
%

a = A(1,1);
b = A(1,2);
c = A(1,3);

d = A(2,1);
e = A(2,2);
f = A(2,3);

g = A(3,1);
h = A(3,2);
i = A(3,3);

b1 = m(1);
b2 = m(2);
b3 = m(3);

% Get to echelon form

op1 = d/a;

e_dash  = e  - op1*b;
f_dash  = f  - op1*c;
b2_dash = b2 - op1*b1;

op2 = g/a;

h_dash  = h  - op2*b;
i_dash  = i  - op2*c;
b3_dash = b3 - op2*b1; 

op3 = h_dash / e_dash;

i_dash2  = i_dash  - op3*f_dash;
b3_dash2 = b3_dash - op3*b2_dash;

% Back substitution

x3 = (b3_dash2                  ) / i_dash2;
x2 = (b2_dash        - f_dash*x3) / e_dash;
x1 = (b1      - b*x2 -      c*x3) / a;

x = [x1 ; x2 ; x3];

Not: Lütfen bu gönderiye kendi yöntemlerinizi ve sayılarınızı eklemekten çekinmeyin.

Muhtemelen Cramer Kuralı. Pivotlamadan kaçınabilirseniz, belki LU çarpanlarına ayırma; 3x3'lük bir matristir, bu yüzden döngüleri manuel olarak açmak kolay olurdu. Başka bir şey muhtemelen dallanmayı içerecektir ve bir Krylov altuzay yönteminin buna değer olması için 1 veya 2 yinelemede yeterince yakınsak olacağından şüpheliyim.