A'A ve AA 'formülasyonlarının durum sayısı

(Yousef Saad, seyrek doğrusal sistemler için yinelemeli yöntemler , s. 260)$cond(A'A) \approx cond(A)^2$

Bu doğru mu $AA'$ de?

Durumunda $A$ dır-dir $N\times M$ ile $N \ll M$, Gözlemliyorum $cond(A'A) \gg cond(AA')$

Bu, formülasyon açısından $AA'$ bu durumda tercih edilir mi?

Eğer $A\in\mathbb{R}^{N\times M}$ ile $N<M$, sonra

Buna göre durum numarası $\kappa_2(A^TA)=\infty$. Sonlu hassasiyet aritmetiği nedeniyle cond(A'A), matlab'de hesaplarsanız çok sayıda değil elde edersiniz Inf.

Bakalım neden $A^TA$ yaklaşık kare durum sayısı $A$. SVD ayrışmasını kullanma$A=USV^T$, ile $U \in \mathbb{R}^{N \times N}$, $S \in \mathbb{R}^{N \times M}$, $V \in \mathbb{R}^{M \times M}$, ifade edebiliriz $A^T A$ gibi

$A^T A=(USV^T)^T USV^T=VS^T U^T U S V^T=V S^T S V^T$

Ki buna dikkat ederek $U$ ortonormaldir, öyle ki $U^T U=I$. Ayrıca,$S$ çapraz bir matristir, öyle ki son ayrışma $A^TA$ olarak ifade edilebilir $V S^2 V^T$, ile $S^2$ anlamı $S^T S$, ilk N tekil değerleri ile diyagonal bir matris verir. $S$köşegen içinde kare. Bu, koşul sayısı ilk ve son tekil değerin oranı olduğu için,$cond(A)=\frac{s_1}{s_N}$ için $A \in \mathbb{R}^{N \times M}$,

$cond(A^T A)=\frac{s_1^2}{s_M^2}=(\frac{s_1}{s_M})^2=cond(A)^2$

Şimdi, aynı egzersizi $AA^T$:

$AA^T=USV^T (USV^T)^T=USV^T V S^T U^T=U S^2 U^T$

Bu da sonucu elde ettiğimiz anlamına gelir $cond(AA^T)=\frac{s_1^2}{s_N^2}$, dan beri $S^2$ burada demek $SS^T$, yukarıdaki notasyondan ince bir fark.

Ama dikkat edin ki ince fark! İçin$A^TA$, koşul numarası paydada M'inci tekil değerine sahipken, $AA^T$N'in tekil değerine sahiptir. Bu, durum numarasında neden önemli farklılıklar gördüğünüzü açıklar -$AA^T$ gerçekten "daha iyi şartlandırılmış" olacak $A^TA$.

Yine de David Ketcheson doğruydu - iki farklı matris arasındaki durum sayılarını karşılaştırıyorsunuz. Özellikle, neler yapabileceğiniz$A^TA$ başarabileceğin şeyle aynı olmayacak $AA^T$.

İddia $\DeclareMathOperator{\cond}{cond} \cond A^2 \approx \cond A^T A$(kare matrisler için) ve Artan'ın cevabındaki [Düzenle: Yanlış okudum] saçmalıktır. Karşı örnek

bunun için kolayca kontrol edebilirsiniz $\cond A^T A = \bigO(\epsilon^{-4})$ise .$\cond A^2 = \bigO(\epsilon^{-2})$

Kesin aritmetik koşul (A ^ 2) = koşul (A'A) = koşul (AA '), bkz. Golub ve van Kredisi, 3. baskı, s70. A, neredeyse sıra yetersizliği varsa, kayan nokta aritmetiğinde bu doğru değildir. En iyi tavsiye, en az kare problemleri çözerken yukarıdaki kitap tariflerini takip etmektir, en güvenli olanı SVD yaklaşımıdır, p257. SVD hesaplanırken \ varepsilon-rank komutunu kullanın; burada \ varepsilon matris verilerinizin çözünürlüğüdür.