Gerçek seyrek matrisin karakteristik polinomunun hesaplanması

Genel bir seyrek matris$A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ile m << N (düzeltme:$m \ll n^2$) sıfır olmayan elemanlar (tipik olarak $m \in {\cal O}(n)$). $A$ spesifik bir özelliğe (örneğin, pozitif kesinlik) sahip olması ve hiçbir yapının (örneğin bantlılık) kabul edilmemesi bakımından jeneriktir.

Karakteristik polinomu veya minimal polinomunu hesaplamak için iyi sayısal yöntemlerden bazıları nelerdir?$A$?

Eğer $O(n^3)$karmaşıklık bir tıpa değildir, o zaman Danilevskii yöntemine bakmak isteyebilirsiniz. Rus edebiyatında sayısal lineer cebir hakkında oldukça iyi bilinir, ancak İngilizce hakkında çok fazla bilgi yoktur. Bu bağlantıdan başlayabilirsiniz .

Fikir oldukça basittir: "Gauss eleme benzeri" benzerlik dönüşümleri ile matris yavaş yavaş Frobenius normal formuna indirgenir . Bilgileri bulamazsanız algoritmayı daha ayrıntılı hale getirebilirim.

Genel matrisinizin özdeğerlerini hesaplamak için QR Faktorizasyon veya Güç Yöntemi ve bunun gerçekleri (ters güç vb.) Gibi sayısal bir yöntem kullanabilirsiniz. Bundan sonra, karakteristik polinomunuzu çarpanlara ayırma yoluyla şu şekilde hesaplayabilirsiniz: (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0; burada λi hesaplanan özdeğerlerdir. Güç ve QR yöntemleri hakkında kısa bir sunum:

QR-Güç

Bu arada: Sahip olduğunuzu söylemek ister misiniz? $m \ll O(n^2)$girdileri? Eğer gerçekten $m \ll O(n)$ sıraların ve sütunların çoğu tamamen boş olacaktır ve karakteristik polinomun aslında derece olmadığı muhtemeldir. $n$ ama derecesi $O(m)$.