Birçok bağımsız dönemi olan ve kapalı formları olmayan salınımlı integrallerin değerlendirilmesi

Titreşimli integraller için en yöntemleri I formu entegralleri ile anlaşma bilmek isimli büyük.

\int f (x) e^{i ω x} d x

$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$

ω

$\omega$

formunun bir integrali varsa burada , kökleri sadece yaklaşık olarak bilinen salınımlı işlevlerdir, ancak bir tür asimptotik form biliniyor, frekansları farklı (ve -lineer olarak bağımsız), o zaman bu integrali nasıl değerlendirebilirim?

\int f (x) g_{1} (x) \dots g_{n} (x) d x,

$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$

g_{k}

$g_k$

g_{k} (x) ~ e^{ben ω_{k} x}

$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$

ω_{k}

$\omega_k$

Q

$\mathbb{Q}$

durumundan farklı olarak, polinom integralleri bilinmemektedir, bu nedenle için bir dizi polinom enterpolantları oluşturamıyorum ve entegre edemiyorum interpolantlar tam olarak. $e^{i\omega x}$ $\int x^a \prod g_k(x)$ $f(x)$

Benim tam , Bessel fonksiyonları ve ve entegrasyon bölgesi . Şimdi kullanıyorum yöntem aralıkları boyunca entegre katkı özetlemek için kadar bir kesme köklerden arasında , daha sonra da asimptotik genişleme kullanmak için büyük . Bu algoritmanın zaman karmaşıklığı üstel olduğu bu ürünü genişleyen içerir çünkü , bir sayı vardır, her biri vererek, asimptotik terimlerin $g_k$ $J_0(\omega_k x)$ $f(x)=x^\alpha$ $[0,\infty)$ $[x_{k-1},x_k]$ $M$ $g_k(x)$ $x$ $n$ $g_1\ldots g_n$ $r$ $r^n$ toplam terimler; çok küçük budama terimleri, çalışma süresini büyük için mümkün kılmak için yeterli süreyi azaltmaz . $n$

Sezgisel titiz cevaplar, öneriler ve referanslar memnuniyetle karşılanır.

quadrature

— Kirill
kaynak

Yanıtlar:

Durağan faz noktaları olan daha basit integraller üzerinde çalıştım. Oldukça iyi çalışan iki yöntem buldum.

Birincisi, faz fonksiyonuna bağlı bir üstel sönüm faktörü, isterseniz bir tür yapay viskozite sunmaktır.

Başka bir teknik (stat fazının birden fazla noktasının olduğu yerlerde):

Tuck, EO, Collins, JL ve Wells, WH, "Gemi dalgaları ve spektrumları hakkında", Journal of Ship Research, s.11-21, 1971.

Bu yöntem, stat'den hızla salınan integral için üstel bozunma faktörlerini uygular. fazları gösterir, ancak integrali olmadığı yerde bırakır.

Fikirlerim bu kadar!

— Lysistrata
kaynak

Teşekkür ederim, ancak bu durumda bunun nasıl çalışacağını tam olarak göremiyorum. Birincisi, gerçek hatta sabit faz noktaları yoktur ve salınımlardan gelen katkılar nihai değer için önemlidir, bu nedenle sönümlenmemelidir.

— Kirill

İntegralinizin osilatör kısmının kökleri (veya ekstrema) için doğru değerleriniz olduğu sürece, Longman'ın yöntemi ( bu cevapta açıkladığım gibi ) geçerli olmaya devam eder. Tek yapmanız gereken, en sevdiğiniz kareleme yöntemini kullanarak kökler arasındaki aralıklarla bir dizi integrali değerlendirmek ve bu integralleri bazı alternatif serilerin şartları olarak ele almaktır. Daha sonra bu alternatif serileri "toplamak" için istediğiniz sayıda yakınsama hızlandırma yöntemini (Euler, Levin, Weniger vb.) Kullanabilirsiniz.

Örnek olarak, bu matematikte , SE cevabında , salınım kısmı iki Bessel fonksiyonunun bir ürünü olan sonsuz bir integrali değerlendirdim.

— JM
kaynak

Köklerin düzensiz aralıklı olması fark etmez mi (tüm dönemler irrasyonel ve bağımsızdır)? Böyle düzensiz bir sekans için neden yakınsama hızlanmasına güveniyorsunuz?

— Kirill

Bu bir süre önceydi, bin hanenin integralini değerlendirmek istedim ve doğru hatırlıyorsam, salınan kareleme aslında denediğim ilk şeydi. Sonuçları hatırlamıyorum, ancak o zaman iyi sonuç verdiğini düşünmüyorum.

— Kirill

"Böyle düzensiz bir sekans için neden yakınsama hızlanmasına güveniyorsun?" - Sadece bir hızlandırıcıya güvenmem , tho. Ancak, en az üç farklı hızlandırıcı bana tutarlı sonuçlar veriyorsa, aldığım rakamların en azından makul olduğunu düşünüyorum. FWIW, Longman'ı Bessel işlevlerinin sonsuz integralleri için kullandım ve özellikle Weniger'ın hızlandırıcı olarak dönüşümünü kullanırken hiç hayal kırıklığına uğratmadım.

— JM

Soruda tarif ettiğim yöntem aynı zamanda bir salınımlı kareleme yöntemidir: integrali formun bir dizi terimiyle genişletmek

x^{a} e^{b x}

$x^a e^{b x}$ kapalı forma sahip sonsuz integraller. Ben böyle bir yönteme yakınsama ivmesinden daha fazla güvenirim. Anladığım kadarıyla, iyi çalıştığından emin olmak için güçlü monotoniklik veya hata terimlerinin iyi anlaşılması gibi bir şey gerektiriyorlar.

— Kirill

(Genelleştirilmiş) bir Fourier genişletmesi yapabiliyorsanız, emin olun.

— JM