Bir IVP veya BVP'nin bir çözümü olup olmadığını, benzersiz olduğunu ve sürekli olarak sınır / başlangıç değerlerine bağlı olduğunu kanıtlamak için matematiksel analiz tekniklerini kullanabileceğimizi biliyorum. Bazı PDE'ler, özellikle doğrusal olmayan pde'ler için, imkansız olmasa bile, iyi pozlamayı kanıtlamak çok zordur. Bir sorunun iyi ortaya çıkıp çıkmadığını doğrulamak için herhangi bir sayısal teknik var mı?
Bir başlangıç veya sınır değer probleminin iyi konumlandırılmasını belirlemek için sayısal bir şema kullanılabilir mi?
Yanıtlar:
Genel olarak, hayır. Sayısal bir çözüm bazen sınır koşullarının yeterli olup olmadığını, örneğin "kayan" alanları tanımlamak için kaba bir önlem olarak kullanılabilir, ancak farklı çözümlerin size süreklilik sorunu hakkında düpedüz yanıltıcı bilgi verdiği birçok durum vardır.
Eklemeli difüzyon, tüm sınırlarda bir sınır koşulu gerektirir, ancak ayrık sistemler çıkışta sınır koşulu kullanamaz (homojen bir Neumann koşulu değil, gerçekten sınır koşulu anlamına gelmez). Sadece bu değil, süreklilik sınır koşulunun ayrık temsilinden daha doğrudur. Ayrıntılar için Papanastasiou, Malamataris ve Ellwood 1992 ve Griffiths 1997'ye bakınız. Benzer bir sınır koşulu kavisli yüzeylerde kayma için de önemlidir, bakınız Behr 2004 .
"Karbunkül fenomeni", sıkıştırılabilir akış için belirli yöntemleri etkiler. Çok iyi anlaşılmamıştır, ancak görünüşte sağlam sayısal şemalar sahte çözümlere yaklaşabilir. Bir örnek Robinet et al. 2000
Laminar bir rejim içinde sıkıştırılamaz Navier-Stokes için sahte çözümler. Schreiber ve Keller 1983'te kapakla çalışan basit bir boşluk örneği verilmiştir .
Fiziksel olmayan göreceli boyutsal dağılmaya sahip hiperbolik koruma yasaları sistemleri. Her zaman bazı sayısal dağıtım gereklidir, ancak aksi takdirde sağlam (örn. Godunov) yöntemler, sayısal dağıtım fiziksel olmadığında sistematik olarak yanlış sonuçlara dönüşebilir. Mishra ve Spinolo 2011'de basit bir örnek verilmiştirburada standart Godunov yöntemi, 1D doğrusallaştırılmış sığ su için yanlış bir sonuca yaklaşır. Bu kendisini büyük girdap simülasyonunda daha derin bir biçimde sunar. Girdap viskozitesi, alt ızgara ölçeklerinin fiziksel bir tezahürüdür, ancak (kaçınılmaz) sayısal dağılım fiziksel dağılımdan daha büyükse, simülasyon sistematik olarak yanlış sonuçlara dönüşebilir. Uygulamada, girdap viskozitesi için alt ızgara kapatmaları çok önemlidir. Bu, doğru (fiziksel) yol boyunca tekil bir sınırın alınması meselesidir.
Esneklikte akış etkileri veya sıkıştırılamaz akışta dama tahtası modları. Bunlar dengesiz bir yakınlaştırma alanı seçmekten kaynaklanmaktadır ve şimdi en azından doğrusal problemler için çok iyi anlaşılmıştır, ancak iyi pozlamayı çıkarmak için sayısal bir çözüme dayanmak, sıkıştırılamaz sınırın kötü pozlanmış olduğu sonucuna varmanıza neden olabilir.