Genel bir matrisin en büyük özdeğerini hesaplamanın en hızlı yolu nedir?

EDIT: Herhangi bir özdeğerin büyüklüğü bir veya daha fazla olup olmadığını test ediyorum.

Büyük, seyrek, simetrik olmayan bir matrisin en büyük mutlak özdeğerini bulmam gerekiyor.

eigen()Tüm özdeğerleri bulmak için EISPACK veya LAPACK'den QR algo kullanan R işlevini kullanıyorum ve sonra abs()mutlak değerleri elde etmek için kullanıyorum . Ancak, daha hızlı yapmam gerekiyor.

Ayrıca ARPACK arayüzünü igraphR paketinde kullanmayı da denedim . Ancak, benim matrislerimden biri için bir hata verdi.

Son uygulamaya R'den erişilebilmelidir.

Muhtemelen aynı büyüklükte birden fazla özdeğer olacaktır.

Önerin var mı?

EDIT: Doğruluk sadece olması gereken 1e-11. "Tipik" bir matris şu ana kadar . Bunun üzerine bir QR faktoringi yapabildim. Ancak, daha büyük olanlara da sahip olmak mümkündür. Şu anda Arnoldi algoritması hakkında okumaya başladım. Lanczsos ile ilgili olduğunu biliyorum.$386\times 386$

EDIT2: Eğer "test ettiğim" çoklu matrislerim varsa ve değişmeyen büyük bir alt matris olduğunu biliyorum. Yoksaymak / silmek mümkün mü?

Matrisinizin boyutuna, büyük vakalarda da seyrek olup olmadığına ve elde etmek istediğiniz hassasiyete bağlıdır.

Matrisiniz tek bir faktörleşmeye izin veremeyecek kadar büyükse ve yüksek hassasiyete ihtiyacınız varsa, Lanczsos algoritması muhtemelen en hızlı yoldur. Simetrik olmayan durumda, sayısal olarak dengesiz olan Arnoldi algoritmasına ihtiyaç vardır, bu nedenle bir uygulamanın bunu ele alması gerekir (tedavisi biraz gariptir).

Sorununuzda durum böyle değilse, sorunuzla ilgili daha ayrıntılı bilgi verin. Sonra bu cevaba bir yorum ekleyin, ben de güncelleyeceğim.

Düzenleme: [Bu en eski özdeğer için asling, sorunun eski sürümü içindi.] Matrisiniz küçük ve görünüşte yoğun olduğu için, bir başlangıç ​​kullanarak Arnoldi yinelemesini B = (IA) ^ {- 1} 'de yapardım. IA'nın üçgensel çarpanlara ayrılmasının B ile ucuz çarpımına sahip olmasına izin verdim (Veya açık bir ters hesaplayın, ancak bu faktoringin 3 katıdır.) B'nin negatif bir özdeğerine sahip olup olmadığını test etmek istersiniz. A yerine B ile çalışmak, negatif özdeğerlerin birbirinden çok daha iyi ayrıldığından, eğer varsa, hızlı bir şekilde birleşmelisiniz.

Ama probleminin nereden geldiğini merak ediyorum. Simetrik olmayan matrisler genellikle karmaşık özdeğerlere sahiptir, bu nedenle '' en büyük '' bile iyi tanımlanmamıştır. Bu nedenle, sorununuz hakkında daha fazla bilgi sahibi olmalısınız, bu daha hızlı ve / veya daha güvenilir bir şekilde nasıl çözüleceğini önermede yardımcı olabilir.

Düzen2: Arnoldi ile belirli bir ilgi alt kümesini elde etmek zor . Kesinlikle en büyük özdeğerleri güvenilir bir şekilde elde etmek için, orijinal matrisi kullanarak alt alan boyutu eşleştiren veya büyüklüğü 1 veya daha büyük olması beklenen özdeğer sayısını aşan alt alan yinelemesini yaparsınız. Küçük matrislerde, bu QR algoritmasından daha yavaş olacaktır, ancak büyük matrislerde çok daha hızlı olacaktır.

Güç Yineleme mesela (veya Güç Yöntemi) Dan tarif ettiğidir, her zaman, yakınsama gerektiğini de olsa oranda.$\left|\lambda_{n-1}/\lambda_{n}\right|$

Eğer yakın olmaktır , yavaş olacak, ama kullanabileceğiniz ekstrapolasyon o çevrede alır. Bu karmaşık görünebilir, ancak sözde kodda bir uygulama kağıtta verilmiştir. λ $\lambda_{n-1}$$\lambda_n$

Son zamanlarda bu konuda bazı iyi araştırmalar olmuştur. Yeni yaklaşımlar, en büyük özdeğerlerde iyi bir doğruluk elde etmek için sadece birkaç matrisinizi gerektiren "randomize algoritmalar" kullanır. Bu, yüksek doğruluğa ulaşmak için birkaç matris-vektör çarpımı gerektiren güç yinelemelerinin aksinedir.

Yeni araştırma hakkında daha fazla bilgiyi burada bulabilirsiniz:

http://math.berkeley.edu/~strain/273.F10/martinsson.tygert.rokhlin.randomized.decomposition.pdf

http://arxiv.org/abs/0909.4061

Bu kod sizin için yapacak:

http://cims.nyu.edu/~tygert/software.html

https://bitbucket.org/rcompton/pca_hgdp/raw/be45a1d9a7077b60219f7017af0130c7f43d7b52/pca.m

http://code.google.com/p/redsvd/

https://cwiki.apache.org/MAHOUT/stochastic-singular-value-decomposition.html

Seçtiğiniz dil orada değilse, kendi randomize SVD'nizi kolayca kolayca kullanabilirsiniz; bu yalnızca bir hazır SVD'ye yapılan çağrıdan sonra bir matris vektör çarpımını gerektirir.

Burada maksimum özdeğerleri hesaplayan Jacobi-Davidson algoritmasına algoritmik bir giriş bulacaksınız.

Bu yazıda matematiksel yönler araştırılmıştır. JD, genel (gerçek veya karmaşık) matrislere izin verir ve özdeğer aralıklarını hesaplamak için kullanılabilir.

Burada JDQR ve JDQZ gibi çeşitli kütüphane uygulamalarını bulabilirsiniz (R'den bağlantı vermeniz gereken bir C arayüzü dahil).

Orijinal yazınızda şöyle diyorsunuz:

“ARPACK arayüzünü igraph R paketinde de kullanmaya çalıştım. Ancak matrislerimden biri için bir hata verdi.”

Hata hakkında daha fazla bilgi edinmek isterdim. Bu matrisi bir yerde halka açık hale getirebilirseniz, ARPACK'i denemek isterim.

Yukarıda okuduklarımdan yola çıkarak, ARPACK'in seyrek bir matrisin en büyük (veya en büyük birkaçının) özdeğerlerini çıkarmak için çok iyi bir iş çıkarmasını beklerdim. Daha açık olmak gerekirse, Arnoldi yöntemlerinin bu durum için iyi çalışmasını beklerdim ve elbette ARPACK'in dayandığı şeydi.

İlgilenilen bölgede yakın aralıklı özdeğerler olduğunda güç yönteminin yavaş yakınsaması yukarıda belirtilmiştir. Arnoldi bunu, güç yönteminde olanın yerine birkaç vektörle yineleyerek geliştirir.

Bu en hızlı yol değil , fakat makul hızlı bir yol, matrisle (başlangıçta rastgele) bir vektöre tekrar tekrar basmak ve ardından her birkaç adımda bir normalleştirmek. Sonunda en büyük özvektöre yakınlaşacak ve tek bir adım için normdaki kazanç, ilişkili özdeğerdir.

Bu, en büyük özdeğer, diğer özdeğerlerden büyük ölçüde büyük olduğunda en iyi şekilde çalışır. Başka bir özdeğer yakın büyük büyüklük bakımından ise, bu birleşmede bir süre alacaktır ve bunun olmadığını belirlemek zor olabilir etmiştir birleşti.

R paketi RARPACK benim için çalışıyor. Ve seyrek doğrusal cebir için standart bir paket olan ARPACK için bir arayüz olduğu için çok hızlı görünüyor (birkaç özdeğer ve özvektör hesaplamak anlamına geliyor).