PDE'ye sayısal bir çözümün süreklilik çözümüne yakınsaması nasıl belirlenir?

Lax teoremi eşdeğerlik doğrusal başlangıç değer sorun için tutarlılık ve sayısal bir şema stabilitesi yakınsama için gerekli ve yeterli bir durum olduğunu belirtir. Ancak doğrusal olmayan problemler için, sayısal yöntemler tutarlı ve istikrarlı olmasına rağmen çok makul bir şekilde yanlış sonuçlara dönüşebilir. Örneğin, bu makale 1D doğrusallaştırılmış sığ su denklemlerine uygulanan birinci dereceden Godunov yönteminin nasıl yanlış bir çözüme dönüştüğünü göstermektedir.

Mesh ve zaman adımı iyileştirmesi altında kendiliğinden yakınlaşma yeterli değildir, ancak doğrusal olmayan PDE'ler için kesin çözümler genellikle mevcut değildir, bu nedenle sayısal bir yöntemin orijinal bir çözüme dönüşüp dönüşmediği nasıl belirlenir?

pde stability convergence

— Jed Kahve
kaynak

Üretilen Çözümler Yöntemi, tüm problemler için kesin çözümler sunar. Tanımladığınız türden sorunlu çözümler üretemeyebilir, ancak kesin çözümlerin asla mevcut olmadığı durum söz konusu değildir.

— Bill Barth

Bunun zor olduğunu düşünüyorum, çünkü çözüm yöntemiyle iyi yakınlaşmamış bir tür süreksizlikle bir çözüm tahmin etmeniz gerekir.

— Matt Knepley

Jed'in bahsettiği sorunlu modları heyecanlandıran çözümler üretmenin muhtemelen zor olduğunu kabul ediyorum. Sadece kesin çözümlerin test için her zaman kullanılabilir olduğunu belirtmek istedim. Örneğin, trig ve üstel fonksiyonların bir karışımını (MoM kesin çözümlerin tipik) bir karışımını kullanarak 1D doğrusallaştırılmış sığ su denklemlerine bir çözüm üreterseniz, ilgili kaynak terimlerini almak için krankı döndürürseniz ve çalıştırırsanız ne olacağını bilmiyorum. onları 1. dereceden bir Godunov şeması aracılığıyla. Belki Jed bir şans verebilir ve rapor verebilir.

— Bill Barth

MoM harika bir araçtır, ancak bu durumda mesele difüzyonun bir şok içinde yanlış uygulanmasıdır. Diğer her yerde, her denklemde sıfıra yakın olan difüzyon eşit olarak kabul edilebilir, ancak difüzyon bir şok içinde sıfıra yakınlaşmaz, bu nedenle her terime sayısal difüzyon uygulamak eşit dinamiklere neden olur. Kimse beni yenemezse, zamanım olduğunda bu soruya uzun bir cevap yazacağım.

— Jed Brown

@Jed, LET doğrusallaştırılmış denklemlere uygulanmamalıdır?

— Matt Knepley

Yanıtlar:

Bu bağlamda ele alınacak iki ana çözüm sınıfı vardır.

"Yeterli" Sorunsuz Çözümler

Gelen STRANG klasik kağıt Lax teoremi (yani, tutarlılık artı stabilite yakınsama ima fikir) doğrusal olmayan PDE çözümlerine uzanan eşdeğerlik olduğu gösterilir bu, sürekli türevlerinin belirli sayıda varsa . Kağıdın hiperbolik problemlere odaklandığını, ancak sonucun parabolik problemleri taşıdığını unutmayın. İhtiyaç duyulan türev sayısı teknik bir noktadır, ancak bu yaklaşım genellikle PDE'yi güçlü bir şekilde tatmin eden çözümlere uygulanabilir.

Süreksiz çözümler

Diğer uçta, tipik olarak doğrusal olmayan hiperbolik koruma yasalarından kaynaklanan süreksizlikler olan PDE "çözümlerine" sahibiz . Bu durumda, elbette, çözümün PDE'yi güçlü anlamda tatmin ettiği söylenemez, çünkü bir veya daha fazla noktada ayırt edilemez. Bunun yerine, esasen çözümün ayrılmaz bir koruma yasasını yerine getirmesini gerektirecek zayıf bir çözüm kavramı getirilmelidir.

stabilitesi yeterli olmadığından , bir dizi çözeltinin yakınsamasını kanıtlamak da daha zordur ; genellikle dizinin, küme gibi kompakt bir alanda olduğu gösterilmelidir. $L_p$ sınırlı bir maksimum toplam varyasyon ile fonksiyonlar. $L_\infty$

Dizinin bir şeye yakınsadığı gösterilebiliyorsa ve yöntem muhafazakarsa, Lax-Wendroff teoremi, koruma yasasının zayıf bir çözümüne yaklaşacağını garanti eder. Ancak, bu tür çözümler benzersiz değildir . Hangi zayıf çözeltinin "doğru" olduğunu belirlemek için hiperbolik PDE'de bulunmayan bilgiler gerekir. Genel olarak hiperbolik PDE'ler, bir süreklilik modelinde parabolik terimlerin ihmal edilmesiyle elde edilir ve doğru zayıf çözüm, tam olarak hangi parabolik terimlerin atıldığına bağlı olabilir (bu son nokta, yukarıdaki soruda bağlantılı makalenin odağıdır ).

Bu zengin ve ilgili bir konudur ve matematiksel teori tam olmaktan uzaktır. Yakınsama kanıtlarının çoğu 1B sorunları içindir ve özel tekniklere dayanır. Dolayısıyla, pratikte hiperbolik koruma yasalarının gerçek hesaplama çözümlerinin neredeyse tamamı mevcut araçlarla yakınsak olduğu kanıtlanamaz . Hesaplamalı bir bakış açısından pratik bir tartışma için LeVeque'in kitabına bakınız (bölüm 8, 12 ve 15); daha titiz ve ayrıntılı bir tedavi için Dafermos'u öneririm .

— David Ketcheson
kaynak

Burada, sayısal yöntemler hiperbolik denklemlerle ilgili sorun olduğunda (ve yanlış çözüme yaklaştığında), bunun genellikle şoklardan kaynaklanmadığını belirtmekten başka katkıda bulunacak çok az şeyim var. Aksine, zorluk yaşadıkları alanlar, çözümün pürüzsüz olduğu nadir yüzey dalgalarıdır.

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

Son bir not olarak: akışına örnek verilebilir. $F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— Wolfgang Bangerth
kaynak

Bu, tam anlamıyla soruyla dikey olmasına rağmen, bu mükemmel bir noktadır. Sen yakınsak konusunu ele doğru gerçekten yakınsak konusunda daha pratikte daha problemlidir zayıf çözelti, bazı zayıf çözelti.

— David Ketcheson