Laplacian matrisinin karekökünü bulma

11

Aşağıdaki matris varsayalım $A$ verilmektedir

[\begin{array}{ccc} 0.500 & - 0.333 & - 0.167 \\ - 0.500 & 0.667 & - 0.167 \\ - 0.500 & - 0.333 & 0.833 \end{array}]

$\left[\begin{array}{ccc} 0.500 & -0.333 & -0.167\\ -0.500 & 0.667 & -0.167\\ -0.500 & -0.333 & 0.833\end{array}\right]$ onun devrik ile

A^{T}

$A^T$ . Ürün

A^{T} A = G

$A^TA=G$ verimleri

[\begin{array}{ccc} 0.750 & - 0.334 & - 0.417 \\ - 0.334 & 0.667 & - 0.333 \\ - 0.417 & - 0.333 & 0.750 \end{array}]

$\left[\begin{array}{ccc}0.750 & -0.334 & -0.417\\ -0.334 & 0.667 & -0.333\\ -0.417 & -0.333 & 0.750\end{array}\right]$ ,

burada $G$ bir Laplacian matrisidir . $A$ ve matrislerinin $G$ , özvektör karşılık gelen sıfır özdeğer değerine sahip 2 $1_n=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\end{array}\right]^T$ .

Sadece verilirse elde etmenin nasıl bir yol olacağını merak ediyorum . Özdeğiştirme denedim ve sonra ayarladım , ancak farklı sonuç elde ettim . Sanırım bu rütbe eksikliğiyle ilgili. Birisi bunu açıklayabilir mi? Açıkçası, yukarıdaki örnek açıklama amaçlıdır; yukarıdaki formun genel Laplacian matris ayrışmasını düşünebilirsiniz. $A$ $G$ $G=UEU^T$ $A'=UE^{1/2}$

Örneğin, Choleskey çözümleme bulmak için kullanılabilir, bu yana , ile ilgili ayrışma birçok çözelti elde olabilir. I olarak ifade edilebilir çözelti içinde ilgilenmekteyim.Lütfen burada a, özdeşlik matrisi, ve tatmin edici bir vektör olarak $G=LL^T$ $G$

bir = (ben - 1_{n} w^{T}),

$A=(I-1_nw^{T}),$

I

$I$

3 \times 3

$3\times 3$

1_{n} = [1 1 1]

$1_n=[1~ 1~ 1]$

w

$w$

w^{T} 1_{n} = 1

$w^T1_n=1$ . Konuları basitleştirirse,

girişlerinin negatif olmadığını varsayabilirsiniz .

w

$w$

linear-algebra matrix eigensystem

— usero
kaynak

temsili hakkında eklediğiniz yorumun sadece kısmen yararlı olduğunu düşünüyorum. Tam olarak sıfıra eşit bir özdeğer olduğunu varsayar, ancak belirsizlik olmaması her zaman oradadır, değil mi?

A

$A$

— Wolfgang Bangerth

@ WolfgangBangerth "determinancy" nin anlamını anlamaya çalışıyorum. Bu

, yukarıdaki örnek için geçerlidir ve

için genelleştirilip genelleştirilemeyeceğinden emin değilim . Ancak,

hariç , çözümün her zaman var olacağından şüpheliyim.

d e t (A) = 0

$det(A)=0$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

n = 3

$n=3$

— usero

Hayır, demek istediğim, probleminizin çözümü benzersiz bir şekilde belirlenmemiş. Matrisin sıfır öz değere sahip olup olmadığının, karekök sorununun benzersiz bir çözümü olmadığı gerçeğini değiştirmediğini belirtiyordum.

— Wolfgang Bangerth

11

Her zaman olduğunu bildiğimiz için bir dizi özdeğer olan Laplacian matrisi matrisimiz var . Böylece Laplacian matrisi her zaman simetrik pozitif yarı tanımlıdır. Çünkü matrisi $G=A^TA$ $\lambda_0\leq\lambda_1\leq\ldots\leq \lambda_n$ $G\in\mathbb{R}^{n\times n}$ $\lambda_0 = 0$ $G$ simetrik pozitif değil, Cholesky ayrışmasını tartışırken dikkatli olmalıyız. Cholesky ayrışması, pozitif yarı tanımlı bir matris için vardır, ancak artık benzersiz değildir. Örneğin, pozitif yarı tanımlı matrisi sonsuz sayıda Cholesky ayrışması var

A = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}],

$A=\left[\!\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \!\!\right],$

A = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin θ & \cos θ \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & \sin θ \\ 0 & \cos θ \end{array}] = L L^{T} .

$A=\left[\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \!\right] = \left[\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \!\right] \left[\!\begin{array}{cc} 0 & \sin\theta \\ 0 & \cos\theta \end{array} \!\right]=LL^T.$

Bununla birlikte, Laplacian matrisi olarak bilinen bir matrisine sahip olduğumuz için, Cholesky dekompozisyonları gibi daha sofistike lineer cebir araçlarından veya geri kazandıracağımız pozitif yarı belirli matris kare kökünü bulmaktan kaçınabiliriz . Örneğin, Laplace matrisimiz varsa , $G$ $G$ $A$ $G\in\mathbb{R}^{4\times 4}$ istenenmatrisini kurtarmak için grafik teorisini kullanabiliriz. Bunu yönlendirilmiş insidans matrisini formüle ederek yapıyoruz. Grafikteki kenar sayısınıveolarak kullanılacak köşesayısını tanımlarsak,yönlendirilen insidans matrisi tarafından verilenbirmatrisi olacaktır.

G = [\begin{array}{cccc} 3 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$G=\left[\!\begin{array}{cccc} 3 & -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\!\right]$

A

$A$

m

$m$

n

$n$

A

$A$

m \times n

$m\times n$

burada

köşe bağlayan kenar belirtmektedir

ve

.

için dört köşesi ve üç kenarı olanbir grafikalırsak, yönlendirilmiş insidans matrisi

A_{e v} = {\begin{array}{lc} 1 & if e = (v, w) and v < w \\ - 1 & if e = (v, w) and v > w \\ 0 & otherwise, \end{array}

$A_{ev} = \left\{\begin{array}{lc} 1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v<w \\ -1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v>w \\ 0 & \textrm{otherwise}, \end{array} \right.$

e = (v, w)

$e=(v,w)$

v

$v$

w

$w$

G

$G$

Ve bulabilirsiniz

. Açıkladığınız matris problemi için,

içinköşe noktaları ile aynı sayıda kenara sahipbir grafik oluşturacaksınız, ozaman sadece Laplacian

matrisi verildiğinde

matrisini yeniden oluşturma yeteneğine sahip olmalısınız.

A = [\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}],

$A = \left[\!\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\!\right],$

G = A^{T} A

$G=A^TA$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

Güncelleme:

Biz bir grafiğin tepe derece köşegen tanımlarsak gibi, grafiğin bitişiklik matrisi , daha sonra Laplace matris grafik ile tanımlanır . Örneğin, aşağıdaki grafikte $N$ $M$ $G$ $G=N-M$

Laplacian matrisinin Şimdiresimdeki grafikte verilen kenarları ve düğümleri kullanarakyönlendirilmiş insidans matrisiilişkilendiriyoruz. Yine girişlerini bulmakdan Örneğin, kenar

G = [\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}] .

$G=\left[\!\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\!\right] - \left[\!\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\!\right].$

G

$G$

A

$A$

A

$A$

A_{e v} = {\begin{array}{lc} 1 & if e = (v, w) and v < w \\ - 1 & if e = (v, w) and v > w \\ 0 & otherwise, \end{array} .

$A_{ev} = \left\{\begin{array}{lc} 1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v<w \\ -1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v>w \\ 0 & \textrm{otherwise}, \end{array} \right..$

e_{1}

$e_1$

ve

düğümlerini bağlar . Dolayısıyla

belirlemek için

indeksinin

indeksinden daha az olduğuna dikkat ediyoruz (veya

tanımında

örneğine sahibiz ). Bu nedenle,

. Benzer şekilde endeksleri karşılaştırarak

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

A_{e_{1}, v_{1}}

$A_{e_1,v_1}$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

v < w

$v<w$

A_{e v}

$A_{ev}$

A_{e_{1}, v_{1}} = 1

$A_{e_1,v_1} = 1$

A_{e_{1}, v_{2}} = - 1

$A_{e_1,v_2} = -1$ . Resimdeki kenarları ve köşeleri referans alarak aşağıda

daha açık bir şekilde veriyoruz .

A

$A$

A = \begin{array}{ccccc} v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} \\ e_{1} & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ e_{2} & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ e_{3} & 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array} .

$A = \begin{array}{c|cccc} & v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\ \hline e_1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ e_2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ e_3 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}.$

Daha sonra, Laplacian matrisi kavramını ağırlıklı yönlendirilmemiş bir grafiğe genelleştiriyoruz. Let ile tanımlanan bir yönsüz sonlu grafik olarak ve , sırasıyla ayarlanmış tepe ve kenar. Bir ağırlık fonksiyonu tanımlayan ağırlıklı grafik dikkate için grafiğin her bir kenarına negatif olmayan bir gerçek ağırlık atar. Biz, kenar bağlantı köşe bağlı ağırlık belirtecektir ve ile . Ağırlıklı bir grafik halinde her köşe derecesini ortaya koyar $Gr$ $V$ $E$

w : V x V \to {R,}^{+},

$w: V\times V\rightarrow \mathbb{R}^+,$

u

$u$

v

$v$

w (u, v)

$w(u,v)$

bağlı tüm önemli kenarların toplamı olarak

, yani,

Verilen grafikten

biz ağırlıklı komşuluk matrisi tanımlayabilir

bir şekilde

endeksli satır ve sütun

Girişleri ile verilir

. Let

u \in V

$u\in V$

u

$u$

d_{u} = \underset{v \in V}{Σ} w (u, v) .

$d_u = \sum_{v\in V}w(u,v).$

G r

$Gr$

A d (G r)

$Ad(Gr)$

n \times n

$n\times n$

V

$V$

w (u, v)

$w(u,v)$

Tarafından taranan diyagonal matris

sonra ağırlıklı Laplace matrisi olabilir diyagonal tepe derece

hemen önce

D (G r)

$D(Gr)$

V

$V$

G

$G$

G, = D (G, r) - bir d (G, r) .

$G = D(Gr) - Ad(Gr).$

Orijinal gönderideki problemde

G, = [\begin{array}{ccc} \frac{3}{4} & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{5}{12} & - \frac{1}{3} & \frac{3}{4} \end{array}] .

$G=\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{5}{12} \\ -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} \\ -\tfrac{5}{12} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{3}{4} \\ \end{array}\!\right].$

G

$G$

G = A^{T} A

$G=A^TA$

A

$A$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

w^{T} 1_{n} = 1

$w^T1_n=1$

A

$A$

A

$A$

A d (G r)

$Ad(Gr)$

G

$G$

G, = [\begin{array}{ccc} \frac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{11}{12} \end{array}] - [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{5}{12} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{5}{12} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{array}] = D (G, r) - bir d (G, r) .

$G=\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \tfrac{11}{12} \\ \end{array}\!\right]-\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{12} \\ \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\ \tfrac{5}{12} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} \\ \end{array}\!\right] = D(Gr)-Ad(Gr).$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

v_{3}

$v_3$

1 / 2

$1/2$

1 / 3

$1/3$

1 / 6

$1/6$

w

$w$

[\frac{1}{2}

$[\frac{1}{2}$

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$

\frac{1}{6}]^{T}

$\frac{1}{6}]^T$

A

$A$

bir = ben - 1_{n} w^{T} = [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{2} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{5}{6} \end{array}] .

$A = I-1_nw^T = \left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{6} \\ \end{array}\!\right].$

$A$

— Andrew Winters
kaynak

A

$A$

G

$G$

O (n^{2})

$O(n^2)$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

1

G

$G$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

G

$G$

G = A^{T} A = (I - 1_{n} w^{T})^{T} (I - 1_{n} w^{T})

$G=A^TA=(I-1_nw^T)^T(I-1_nw^T)$

9

$A$ $B$

B^{2} = bir,

$B^2 = A,$

$C$

C^{'H} C = bir,

$C^H C = A,$

$C \mapsto Q C$ $Q$

Son olarak, Hermite pozitif yarı-belirli bir matrisin benzersiz matris karekökünü özdeğer ayrışması yoluyla yapısal olarak tanımlayabiliriz.

bir = U Λ U^{'H},

$A = U \Lambda U^H,$

$U$ $\Lambda$ $A$

B = U \sqrt{Λ} U^{'H} .

$B = U \sqrt{\Lambda} U^H.$

— Jack Poulson
kaynak

A

$A$

6

G, = {bir}^{T} bir .

$G = A^T A.$

G

$G$

G

$G$

G = L^{T} L

$G=L^TL$

A = L

$A=L$

A

$A$

G

$G$ ve belirli bir soruna sahip olmak istiyorsanız, soruyu ilgilendiğiniz kare kökün "dalının" yapısal özelliklerini belirleyeceğiniz şekilde yeniden söylemeniz gerekir.

Bu durumun karmaşık sayıları kullanarak gerçek sayılar arasında kare kökü almaya benzemediğini söyleyebilirim: orada da genel olarak iki kökeniniz var ve cevabı benzersiz kılmak istediğinizi söylemek zorundasınız.

— Wolfgang Bangerth
kaynak

Kesinlikle haklısın. Başka bir yol, yukarıda belirttiğim gibi spektral ayrışma yaklaşımı olacaktır. Çözümü benzersiz kılmak için bir düzenleme yaptım. Umarım işleri karmaşıklaştırmaz.

— usero

Yukarıda verdiğim kısıtlamaya sahip bir çözüm her zaman var mı? Belki de sadece bazı durumlar için geçerlidir ve genel olarak değil.

— usero

Aslında, Cholesky, (esasen) matrisin Hermitian pozitif-kesin olmasını gerektirdiğinden, durumunda çalışmaz.

— Jack Poulson

4

$LDL^{T}$ $\hat{D} = \sqrt{D}$ $G = L\hat{D}$

— Willowbrook
kaynak

L D L^{T}

$LDL^T$

1

@JackPoulson Matlab'da tekil bir A matrisi deniyorum ve ldl çalıştırıyorum, işe yarıyor. Sıfır özdeğerler, D'nin köşegenindeki sıfırlara karşılık gelir.

— Willowbrook

2

L D L^{T}

$LDL^T$

P A P^{'} = L D L^{T}

$PAP'=LDL^T$

D

$D$

2 \times 2

$2 \times 2$