FEM: Sertlik matrisinin tekilliği

{(σ^{2} (x) u^{″} (x))}^{″} = f (x), 0 ⩽ x ⩽ 1

$\left( \sigma^{2}(x) u ''(x) \right)'' = f(x), \;\;\; 0 \leqslant x \leqslant 1$

u (0) = u (1) = 0

$u(0) = u(1) = 0$

u^{″} (0) = u^{″} (1) = 0

$u''(0) = u''(1) = 0$

σ (x) ⩾ σ_{0} > 0

$\sigma(x) \geqslant \sigma_{0} > 0$

A u = f

$Au = f$

A

$A$

FEM şeması ardından, bir optimizasyon problemine sorunumu azaltmak

J (u) = (A u, u) - 2 (f, u) \to min_{u}

$J(u) = (Au,u) - 2(f,u) \to \min_{u}$ Ben tanıtmak sonlu elemanlar

h_{k} (x)

$h_{k}(x)$ olarak

v_{k} (x) = {\begin{aligned} 1 - {(\frac{x - x_{k}}{h})}^{2}, & x \in [x_{k - 1}, x_{k + 1}] \\ 0, & otherwise \end{aligned}

$v_{k}(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 - \left( \frac{x-x_{k}}{h} \right)^2, & x \in [x_{k-1},x_{k+1}] \\ 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.$ herhangi bir

k = 1, \dots, n - 1

$k = 1,\ldots,n-1$ , burada

x_{k} = h k

$x_{k} = hk$ ,

h = \frac{1}{n}

$h = \frac{1}{n}$ . Sonlu elemanlar

v_{0} (x)

$v_{0}(x)$ ve

v_{n} (x)

$v_{n}(x)$ benzer şekilde

Ben numericaly vektörü bulmaya $\alpha$ , öyle ki $u(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{k} v_{k}(x)$ optimizasyon sorunu çözer. Biz

J (u) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n} α_{i} α_{j} (A v_{i}, v_{j}) - \sum_{i = 0}^{n} 2 α_{i} (v_{i}, f) = α^{T} V α - 2 α^{T} b \to min_{α},

$J(u) = \sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} (Av_{i},v_{j}) - \sum\limits_{i=0}^{n} 2\alpha_{i} (v_{i},f) = \alpha^{T} V \alpha - 2\alpha^{T} b \to \min\limits_{\alpha},$ burada

b_{i} = (f, v_{i})

$b_{i} = (f,v_{i})$ ve

V_{i, j} = (A v_{i}, v_{j})

$V_{i,j} = (Av_{i},v_{j})$ .

ile farklılaştıktan sonra

α

$\alpha$ alıyorum

V α = b,

$V\alpha = b,$ fakat burada

sertlik matrisi

V

$V$ tekil. Peki ne yapmam gerekiyor? Belki diğer sonlu öğeleri seçmek zorundayım?

finite-element

— Aplike
kaynak

Merhaba, Nimza, kesin çözümü bildiğiniz bir test sorununuz var mı? Evetse, temelinizin alan içinde doğru olup olmadığını test etmek için önce

çözmeyi deneyin

V^{T} V α = V^{T} b

$V^T V \alpha = V^T b$ , her şey doğru görünüyorsa, belki de yanlış pozlanmış BC, matrisi tekil yapar. Ama BC bana göre iyi görünüyor.

— Shuhao Cao

Yanıtlar:

Olası azalan sırada

Yanlış temel. Açıklamanızdan, her öğe üzerinde tam olarak iki adet ikinci dereceden fonksiyonunuz olduğu anlaşılıyor. Bu boşluk bir birlik bölümü değildir ve (sürekli ilk türevler) değildir. Dördüncü dereceden probleminizi doğrudan ayırmak için (örneğin ikinci dereceden denklemler sistemine indirgemek yerine) temeline ihtiyacınız olacaktır . temelinin tüm doğrusal fonksiyonları tam olarak üretebilmesi gerektiğini unutmayın . $C^1$ $C^1$ $C^1$
Yetersiz sınır koşulları. Boş alanı hesaplar ve çizerseniz bu açık bir şekilde görülecektir.
Yanlış montaj. Beklediğiniz şeyin, örneğin öğelerin yönünü tersine çevirmediğini doğrulamak için haritayı öğelerden birleştirilmiş siparişe doğru kontrol edin.
Yanlış yerel montaj. 1D'de, eleman sertliği matrisinin neye benzediğini (belki de basitleştirilmiş bir durum için) analitik olarak hesaplayabilir ve kodun yeniden üretip üretmediğini kontrol edebilirsiniz.

— Jed Kahve
kaynak

Teşekkür ederim. 1. I bir ihtiyaç düşünüyorum temel nedeni . Daha sonra, yalnızca sınır koşullarını sağlayan işlevleri göz önüne .

C^{2}

$C^2$

(A u, v) = \int_{0}^{1} σ^{2} (x) u^{″} (x) v^{″} (x) d x

$(Au,v) = \int_{0}^{1} \sigma^{2}(x) u''(x) v''(x) dx$

\ker A = {0}

$\ker A = \{ 0 \}$

— Aplike

Bir temeli yeterlidir, integralin sürekli olması gerekmez. İkinci türevler üzerindeki sınır koşullarının bir sınır integrali olacağını unutmayın. Dördüncü dereceden bir problemin doğrudan ayrıklaştırılması için bir temeli kullanabilirsiniz , ancak atlama terimlerini birinci ve ikinci dereceden sistemler için süreksiz Galerkin yöntemlerinde olduğu gibi entegre etmeniz gerekecektir. Kötü bir yöntem değildir, ancak 1D'de gereksiz yere karmaşıktır, çünkü herhangi bir süreklilik sırası (örneğin spline) ile üsler inşa etmek çok kolaydır. Bu makale " DG" ye bir örnektir .

C^{1}

$C^1$

C^{0}

$C^0$

C^{0}

$C^0$

— Jed Brown

Tamam. düzelttim: şimdi üzerinde ve . Şimdi . Ancak yöntem hala çalışmıyor.

v_{k} (x) = \cos^{2} (\frac{π}{2 h} (x - x_{i}))

$v_{k}(x) = \cos^2 \left(\frac{\pi}{2h}(x-x_{i}) \right)$

[x_{i - 1}, x_{i + 1}]

$[x_{i-1},x_{i+1}]$

i = 1, \dots, n - 1

$i = 1,\ldots,n-1$

C^{1}

$C^1$

— Aplike

baz fonksiyonları doğrusal çoğaltmak mümkün olmalıdır, ancak bu olamaz. Bunu düzelttikten sonra, integrallerin doğru şekilde yapıldığını kontrol edin, ardından sınır koşullarını kontrol edin.

C^{1}

$C^1$

— Jed Brown

Açıkça görülüyor ki problem bir ODD emri türevine sahiptir. Daha spesifik olarak daha büyük Péclet sayıları için , sertlik matrisi, montaj sırasında sıfırlar oluşturan ve dolayısıyla çözelti grafiğindeki salınımlar tarafından fark edilebilen tekil veya bazen çok küçük belirleyici olan 'ince' şekli koruyamayabilir.

Bu tür bir sorunun çözümü, diğer yöntemlerin yanı sıra ceza kullanımıdır. Daha spesifik olarak buna Petrov-Galerkin yöntemi denir .

Kötü İngilizce anlayışım için özür dilerim.

— Sohail Ahmed
kaynak