Simetrik genelleştirilmiş özdeğer problemi için Sylvester Atalet Yasasının genelleştirilmesi var mı?

Simetrik özdeğer problemini çözmek için biliyorum $Ax = \lambda x$, Sylvester Atalet Yasasını, yani özdeğerlerin sayısını kullanabiliriz. $A$ daha az $a$ negatif girişlerin sayısına eşittir $D$ çapraz matris nerede $D$ LDL çarpanlarına ayırması $A-aI = LDL^{T}$. Daha sonra, ikiye ayırma yöntemi ile özdeğerlerin tümünü veya bazılarını istendiği gibi bulabiliriz. Simetrik genelleştirilmiş özdeğer problemleri için Sylvester Atalet Yasası'nın bir genellemesi olup olmadığını bilmek istiyorum.$Ax= \lambda Bx$, nerede $A$ ve $B$simetrik matrislerdir. Teşekkürler.

Evet, eğer kalem kesin ise, yani $A$ ve $B$ Hermityalılar ve $B$pozitif tanımlıdır. Sonra imzası$A-\sigma B$ özdeğer problemi için aynı yoruma sahiptir $(A-\lambda B)x=0$ davadaki gibi $B=I$. Bu türden daha genel bir sonuç, herhangi bir doğrusal olmayan özdeğer problemi için geçerlidir$A(\lambda)x=0$. Kitabımın 5.3 bölümüne bakın

Arnold Neumaier, Sayısal analize giriş, Cambridge Univ. Press, Cambridge 2001.

İçin $(A-\lambda B)x=0$, iddiamın kanıtı, Jack Poulson tarafından verilen argümandan çıkarılabilir. $C-\sigma I$ ve $A-\sigma B$ uyumludur, dolayısıyla aynı atalete sahiptir.

Özellikle, insanın ataletini doğrudan hesaplayabilir $A-\sigma B$ve Cholesky çarpanlarına ayırmaya ihtiyaç duymaz $B$ oluşturmak üzere $C$. Gerçekten, eğer$B$ o zaman koşulsuz $C$ Atalet testinin kalitesini düşürür.

Nerede $B$ Hermitiyen ve pozitif tanımlıdır, $B$, söyle $B = L L^H$, verir

ve bu denklem,

nerede olması gerektiği $C \equiv L^{-1} A L^{-H}$ simetrisini korur $A$ve aynı zamanda kalemle aynı spektruma sahiptir $(A,B)$. Böylece, oluşturduktan sonra$C$, Cholesky çarpanlarına ayırma ve ardından iki taraflı üçgen çözme ile Sylvester atalet yasasını doğrudan$C$ kalemin özdeğerleri hakkında bilgi edinmek $(A,B)$.

Sylvester'in Atalet Yasası'nın kongruans dönüşümleri ile ilgili olmadığından , örneğin,$S \cdot S^H$, sonra matris $C$ uygun $A$ dönüşüm yoluyla $L^{-1} \cdot L^{-H}$, ve bu yüzden $C$ ataletle aynı $A$. Ancak, eğer atalet$C-\sigma I$ bazı sıfır olmayan vardiyalar için $\sigma$, o zaman artık sadece $A$.