Bir dizi noktadan en dağınık noktaları seçme

Bir dizi N noktasından ( ) noktalarının alt kümesini ( en büyük alanı ( boyutundaki tüm olası alt kümelerde ) "kaplayacak şekilde" seçmek için herhangi bir (verimli) algoritma var mı ?$M$$N$$M < N$$M$

Puanların 2D düzlemde olduğunu varsayıyorum.

Saf algoritma basittir, ancak zaman karmaşıklığı açısından engelleyicidir:

for each subset of N points
    sum distance between each pair of points in the subset
    remember subset with the maximum sum

Daha verimli ve hatta yaklaşık bir yöntem arıyorum.

Örnek, işte içinde rastgele noktalar olan bir uçak:

For , hiç böyle bir seçme noktaları bekliyoruz:$M=5$

Seçilen noktaların (kırmızı) düzlemin her tarafına dağıldığını unutmayın.

Bu sorunla ilgili " GÖRSEL İZLEME İÇİN KESİNLİKLE DAĞITILMIŞ ANAHTAR KELİMELERİ SEÇMEK " başlıklı bir makale buldum . Ancak, bu noktaların ağırlıklı olduğunu varsayar.

İşte yaklaşık bir çözüm. Bu yana , N çok büyük olduğu ve M çok küçük ne aşağıdakilerden hakkında:

1. N'nin dışbükey gövdesini hesaplayın
2. Maksimum mesafe kriterlerinizi karşılayan gövdeden en fazla M noktası seçin .
3. 2. Adım sizi M noktasından daha az nokta bırakırsa , iç kısımdan önceden seçilen noktalara olan mesafesini en üst düzeye çıkaran 1 nokta seçin.
4. Seçilen nokta sayısı M olana kadar 3. Adımı tekrarlayın

Bunun arkasındaki sezgi, N >> M olduğundan ve birbirlerinden olabildiğince uzakta noktalar istediğinizden, muhtemelen verilerin kenarlarına yakın olacaklardır, bu nedenle gövdeyle başlayıp tekrar tekrar oradan içeri gir.

Ayrıca, gövdeden başlayarak ilk aramanızı N'den N ^{1/2'ye düşürürsünüz} .

GÜNCELLEME

Yukarıdaki 3. ve 4. adımlar çok uzun sürüyorsa (veri kümenizin içini tekrarlı olarak test ettiğiniz için) sorununuzu hızlandırmak için bana iki fikir daha geldi.

1. Rastgele Arama : 2. Adımda gövdede P noktaları bulduğunuzu varsayalım. Ardından M - P noktalarını içten rastgele çizin . X denemelerinden sonra en iyi seti seçin.
2. Simüle Tavlama : Veri kümenizi kapsayan en küçük sınırlama kutusunu hesaplayın (eksenlerle hizalanması gerekmez, eğilebilir). Ardından , sınırlayıcı kutuda bir dizi M eşit olarak dağıtılmış ızgara noktaları tanımlayın . Bu noktaların veri kümesi noktalarınızın hiçbiriyle çakışması gerekmez. Sonra her ızgara noktası için veri kümenizdeki en yakın k komşularını bulun. Her M x k kombinasyonundan geçin ve maksimum mesafe kriterlerinizi karşılayanı seçin. Başka bir deyişle, iyi bir başlangıç ​​çözümü bulmak için başlangıç ​​ızgarasını önyükleme olarak kullanıyorsunuz .

$N$$M$

$M$$M$

$M$$1$$M=3,4,5$

$M=3$$1$$M=4$$M=5$$1$

Çevremizdeki noktaların baskın seçiminden kaçınmak istiyorsak, farklı bir amaç faydalı olmaya yatkındır. Noktalar arasındaki minimum mesafenin maksimizasyonu böyle bir kriterdir. İlgili problemler StackOverflow , Computer Science SE , Math.SE ve MathOverflow olmak üzere hazırlanmıştır .

$M$$D$$M$$D$

Tamam, öyleyse Öklid düzlemindeki belirli bir N nokta kümesinden M noktaları seçmek istiyorsunuz, böylece seçilen noktaların çift mesafelerinin toplamı maksimum, doğru mu?

Standart yerel arama algoritması oldukça hızlıdır ve oldukça iyi bir yaklaşım sunar. Çalışma zamanı N'de lineer ve M'de kuadratiktir. Yaklaşık oranı 1 - 4 / M'dir. Bu, M arttıkça oranın daha iyi olacağı anlamına gelir. Örneğin, M = 10 için en uygun değeri% 60, M = 50 için en uygun değeri% 92 alır.

Algoritma ayrıca genel boyuttaki Öklid uzayları için de çalışır. Bu durumda, problem NP-zordur. Ancak uçakta, NP-sert olup olmadığı bilinmemektedir.

Kaynak bu çalışmadır . Bu yardımcı olur umarım! En iyi, Alfonso

Bir çözüm:

• $O(n)$

• Bu sınırlayıcı dikdörtgenin içinde M yapay bile dağıtılmış noktaları olun , bazı M diğerlerinden daha zordur. Sizin durumunuzda, dikdörtgenin köşelerinde dört, merkezde bir tane

• $O(n(log(n)))$

• $O(m(log(n)))$

$O(n(log(n)))$$\sqrt{M} \in \mathbb{N}$