Sonlu Elemanlar Analizinde test fonksiyonunun amacı nedir?

Dalga denkleminde:

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

Entegrasyondan önce neden bir test fonksiyonuyla $v(x,t)$ çarpıyoruz?

finite-element

— Andy
kaynak

Kısa cevap: Sonlu elemanlar yöntemi, (verdiğiniz) güçlü formülasyonun değil, zayıf formülasyonun ayrıklaştırılmasıdır. Orta cevap: Çünkü denklemi tatmin edecek şekilde sonlu boyutlu bir fonksiyon bulacağınızdan emin olamazsınız; en iyi olarak, tortunun sonlu boyutlu çözelti boşluğuna dik olmasını veya eşdeğer olarak, o boşluğun herhangi bir elemanına (tam olarak bir test fonksiyonudur) dik olmasını umut edebilirsiniz. Parçalarla entegrasyon önemli değildir ve sizin durumunuzda simetri uğruna. Uzun cevap bir yorum için çok uzun :)

— Christian Clason

Başka bir kısa açıklama: Sadece entegre ederseniz ve sıfıra ayarlarsanız, aradığınız şeyi değil , ortalamanın yok olmasını istersiniz, çünkü o zaman artık, alan adının bir bölümünde çok büyük olabilir, başka bir ters işareti ile büyük. Test özünde her bir elementin kalıntısını "lokalize" eder.

— Christian Clason

Alternatif bir açıklama için şu cevaba bakınız: scicomp.stackexchange.com/questions/16331/…

— Paul

Yanıtlar:

Sen ona geri geliyorsun. Gerekçelendirme, varyasyonel ortamdan başlayıp güçlü forma doğru çalışarak daha iyi görülür. Bunu yaptıktan sonra, bir test işleviyle çarpma ve tümleştirme kavramı, bir en aza indirme sorunuyla başlamadığınız sorunlara uygulanabilir.

Bu nedenle, en aza indirmek istediğimiz sorunu düşünün (ve burada resmi olarak ve sıkı bir şekilde değil):

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

$\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

burada sadece bir skalerdir. Bunun bir skaler değişkenin skaler fonksiyonları için bir türevin geleneksel tanımına benzediğini, ancak skaleri geri veren, ancak fonksiyonları üzerinde etki alanlarına sahip olan gibi fonksiyonlara kadar genişlediğini görebilirsiniz. $h$ $I$

Bunu için hesaplarsak (çoğunlukla zincir kuralını kullanarak), $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

Minimum değeri bulmak için bunu sıfıra ayarlarsak, Laplace denkleminin zayıf ifadesine benzeyen bir denklem elde ederiz:

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

Biz Iraksama Theorm (parçalarıyla aka çoklu dimesional entegrasyon) kullanan Şimdi, eğer biz bir türevi kapalı alabilir ve üzerine koydu olsun için $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

Şimdi bu, kısmi diferansiyel denklemden zayıf bir ifade oluşturmak istediğinizde gerçekten başladığınız yer gibi görünüyor. Şimdi bu fikir göz önüne alındığında, bunu herhangi bir PDE için kullanabilir, sadece bir test fonksiyonuyla çarpabilir, entegre edebilir, Diverjans Teoremini uygulayabilir ve daha sonra ayrıştırabilirsiniz.

— Bill Barth
kaynak

Ağırlıklı kalıntıyı en aza indirgemek için açıklamayı tercih ederim.

— nicoguaro

@nicoguaro, tamam o zaman bu cevabı yazabilirsiniz ve hangisinin OP için daha anlamlı olduğunu göreceğiz. :)

— Bill Barth

Zayıf formun güçlü formdan aslında (veya en azından sıklıkla) daha doğal olduğunu belirtmek için +1 .

— Christian Clason

İlginç. Bir tür teğet, ancak "Bu tür bir türevi dikkate almanın birkaç iyi yolu var" ile ilgili : öğrendiğim tek yöntem bahsettiğiniz yöntem. Başka ne tür var?

— user541686

@Mehrdad Bu yöntem yönlü bir türevi hesaplar ve lineer bir operatör ( cinsinden ) ve dolayısıyla bir Gâteaux türevi olduğunu doğrular . Diğer yönden de gelebilirsiniz: Doğrusal bir operatörü tahmin edin (örn. Gerçek işlevlere benzer bir şekilde) ve bir tür birinci dereceden Taylor yaklaşım özelliğini karşıladığını doğrulayın. O zaman bir Fréchet türevidir (ve dolayısıyla bir Gâteaux türevidir).

h

$h$

— Christian Clason

Daha önce de belirttiğim gibi, zayıf formu ağırlıklı bir artık olarak düşünmeyi tercih ederim.

Yaklaşık bir çözüm bulmak istiyoruz . Kalanları şu şekilde tanımlayalım: $\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

kesin çözüm için artık, alan üzerinde sıfır fonksiyonudur. "İyi", yani küçük yapan bir çözüm bulmak istiyoruz . Böylece, artıkların normunu (örneğin En küçük kare yöntemleri) veya bir miktar ortalamasını en aza indirmeye çalışabiliriz. Bunu yapmanın bir yolu, ağırlıklı kalıntıyı hesaplamak, yani ağırlıklı kalıntıyı en aza indirmektir $R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

bununla ilgili önemli bir şey, işlevselliği tanımlamasıdır, böylece en aza indirebilirsiniz. Bu, varyasyonel bir formu olmayan işlevler için kullanılabilir. Biraz bu biraz daha sahip tarif yazı . işlevini, işlevinin (Galerkin yöntemleri), Dirac delta işlevlerinin (sıralama yöntemleri) veya temel bir çözümün (Sınır Öğeleri Yöntemi) olduğu gibi farklı şekillerde seçebilirsiniz . $w$ $\hat{u}$

İlk durumu seçerseniz, @BillBarth tarafından açıklanan gibi bir denklem elde edersiniz.

— nicoguaro
kaynak