Özdeğerlerin çokluğu nasıl tespit edilir?

A'nın genel bir seyrek matris olduğunu varsayalım ve özdeğerleri hesaplamak istiyorum. Özdeğerlerin çokluğunu nasıl tespit edeceğimi bilmiyorum. Bildiğim kadarıyla, özel bir durum için, eşlik eden matris yöntemiyle polinom köklerini bulmak, köklerin çokluğunu tespit etmek için RRQR uygulayabiliriz.

linear-algebra

— Willowbrook
kaynak

Açıkçası, çoklukların hesaplanması sorunu, keyfi olarak küçük pertürbasyonlar çoklukları değiştirebileceğinden (genellikle 1'e indirgenir) kötüdür. Ancak, bazı tahminlere göre, aşağıdakiler işe yarar.

Eğer bir özdeğer yaklaşımı ve faktörünü karşılayabiliyorsanız , özdeğerlerin yakınlarını bulmak için matrisiyle bir altuzay yöntemi uygulayabilirsiniz. için . Bu uzayın ortonormal temeline yansıtma ve Schur ayrışmasının hesaplanması, daha sonra sayısal bir yöntem bunları belirleyebildiği kadar, sayısal boşluklara ve bunların çokluklarına sayısal ayrışmayı verir. $\sigma$ $A-\sigma I$ $B=(A-\sigma I)^{-1}$ $\sigma$

Tek bir çarpanlara ayırmayı göze alamıyorsanız, doğrudan altuzay yöntemi ile benzer şeyler yapılabilir, ancak çok daha düşük bir çözünürlükle.

— Arnold Neumaier
kaynak

Bunun klasik örneği Forsythe matrisidir, bu da yeterince küçük olduğu polinom eşlik matrisi . Matrisin kendisi kusurlu değildir, ancak kusurlu bir Ürdün bloğuna dönüştürmek için sadece küçük bir pertürbasyona (sağ üst köşede) ihtiyaç vardır.

x^{n} - ε

$x^n-\varepsilon$

ε

$\varepsilon$

— JM