Log-log uzayında integral

10

Genel olarak, log-log uzayında çok daha düzgün ve daha iyi davranan işlevlerle çalışıyorum --- bu yüzden enterpolasyon / ekstrapolasyon vb. Gerçekleştiriyorum ve bu çok iyi çalışıyor. Bu sayısal işlevleri günlük kaydı alanına entegre etmenin bir yolu var mı?

yani scipy.integrate.cumtrapzbazı st bulmak için bir kümülatif integral (örneğin python, kullanım ) gerçekleştirmek için bir çeşit basit trapezoidal kural kullanmayı umuyorum $F(r)$

F (r) = \int_{0}^{r} y (x) d x

$F(r) = \int_0^r y(x) \, dx$

Ama ve (mümkünse) yerine ve değerlerini kullanmayı umuyorum . $log(y)$ $log(x)$ $y$ $x$

numerics integration

— DilithiumMatrix
kaynak

Ben normalde gider gibi aynı baş gibi görünüyor bu bağlantı ( my.originlab.com/forum/topic.asp?TOPIC_ID=1251 ) buldum : log-log alanında eğim hesaplamak ve kesişmek . Sonra lin-lin uzayına dönüştürün, bütünleştirin ve değerlendirin.

— MrMas

6

Sadece değişkenleri değiştirebilirsiniz. Ayar $a=log(x)$ , $b(a)=log(y(x))$ . İntegral olur

$F(r)=\int^{log(r)}_{-\infty} exp(a+b) da$

Biraz dikkatli olmalısın çünkü $-\infty$ . Tam olarak yapmanız gerekenler, $y(x)$ gibi görünüyor.

— Şam Çeliği
kaynak

Yanıtınız için teşekkürler! Ama bence bu sadece integrali lineer uzayda gerçekleştiriyor. Belki de imkansız bir şey istiyorum ...

— DilithiumMatrix

2

Hayır, bu, log uzayındaki integrali yapar. Ayrıklaştırırken,

d a

$da$ doğrusal alanda değil, günlük alanında eşit boyuttadır.

— Şam Çelik

1

@DilithiumMatrix haklı:

x

$x$ değerleri log-space, ama enterpolasyon

y

$y$ değerler lineer uzayda olur. Bu nedenle, yamuk kuralını kullanacaksanız, etkili bir şekilde entegre edilen fonksiyon, logaritmik x-ekseni ve doğrusal y-ekseni olan bir arsada parçalı doğrusaldır.

— burnpanck

3

Python kullanmıyorum, ama doğru anlarsam

F (r) = \int_{0}^{r} y (x) d x

$F(r)=\int_0^ry(x)dx$ şöyle bir şey düşünüyorsun

F = i n t e g r a t e (y, x)

$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\mathbf{y},\mathbf{x})$ nerede

F = [F_{1}, . . ., F_{n}]

$\mathbf{F}=[F_1,...,F_n]$ integralin ızgara üzerinde örneklendiği bir vektördür

x

$\mathbf{x}$ .

Ancak örnekleri yok $x$ ve $y$ daha doğrusu $\hat{x}=\log(x)$ ve $\hat{y}=\log(y)$ .

Tabii ki en basit yaklaşım

F = i n t e g r a t e (\exp (\hat{y}), \exp (\hat{x})),

$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\exp(\mathbf{\hat{y}}),\exp(\mathbf{\hat{x}})) ,$ ama bu hataya meyilli olacaktır, çünkü

y (x)

$y(x)$ Düzgün olmasa da

\hat{y} (\hat{x})

$\hat{y}(\hat{x})$ dır-dir.

Şimdi yamuk kuralı temel olarak girdinizi varsayar $y(x)$ parçalı doğrusaldır. Yani basit genelleme, $\hat{y}(\hat{x})$ parçalı doğrusaldır.

Bu durumda, $\Delta F_k=F_{k+1}-F_k$ , var

Δ F_{k} = \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} y (x) d x = \int_{{\hat{x}}_{k}}^{{\hat{x}}_{k + 1}} e^{\hat{y} (\hat{x})} e^{\hat{x}} d \hat{x} = \int_{{\hat{x}}_{k}}^{{\hat{x}}_{k + 1}} \tilde{y} (\hat{x}) d \hat{x}

$\Delta F_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}y(x)dx =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}e^{\hat{y}(\hat{x})}e^\hat{x}d\hat{x} =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}\tilde{y}(\hat{x})d\hat{x}$

Sonra, $t=(\hat{x}-\hat{x}_k)/\Delta \hat{x}_k$ , var

{\hat{y}}_{k + t} \approx {\hat{y}}_{k} + t Δ {\hat{y}}_{k}

$\hat{y}_{k+t} \approx \hat{y}_k + t \Delta \hat{y}_k$ ve

\tilde{y} (t) \approx a e^{b t}

$\tilde{y}(t) \approx a e^{bt}$ , ile

a = e^{{\hat{y}}_{k} + {\hat{x}}_{k}}

$a=e^{\hat{y}_k+\hat{x}_k}$ ve

b = Δ {\hat{y}}_{k} + Δ {\hat{x}}_{k}

$b=\Delta \hat{y}_k+\Delta \hat{x}_k$ .

Böylece integral

Δ F_{k} \approx a Δ \hat{x} \int_{0}^{1} e^{b t} d t = a Δ \hat{x} \frac{e^{b} - 1}{b}

$\Delta F_k \approx a \Delta \hat{x} \int_0^1e^{bt}dt = a \Delta \hat{x} \frac{e^b-1}{b}$

Matlab'da bu şuna benzer

dlogx=diff(logx); dlogy=diff(logy); k=1:length(logx)-1;  
b=dlogx+dlogy; a=exp(logx+logy);  
dF=a(k).*dlogx.*(exp(b)-1)./b;  
F=cumsum([0,dF]);

Bu yardımcı olur umarım!

(Düzenleme: Cevabım aslında Şam Çelik'in yazarken verdiği çok daha özlü cevapla aynı. Tek fark, "belirli" $y(x)$ "parçalı doğrusaldır $\hat{y}(\hat{x})$ ayrık bir şekilde ayrıklaştırılmış $\mathbf{\hat{x}}$ bir şeyle uyuşmakbir şeye uymak $F(\hat{x}_1)=0$ .)

— GeoMatt22
kaynak

(Çok açık) cevabınız için teşekkürler, ancak @DamascusSteel'e yanıt olarak söylediğim gibi - bunun sadece integrali lineer-lineer uzaya geri döndürmek ve log-space'in faydalarını kaybetmek olduğunu düşünüyorum.

— DilithiumMatrix

1

@DilithiumMatrix: Bu, ŞamSteel'in cevabı ile aynı cevap değil. DamascusSteel'in cevabına yamuk kuralı uygulanmasının,

\frac{\exp (b) - 1}{b}

$\frac{\exp(b)-1}{b}$ faktörü.

— burnpanck

3

Bir günlük kaydı grafiğinde işlev düzgün görünüyorsa, her aralıkta bir güç yasası kullanarak enterpolasyon yapabilirsiniz (güç yasaları elbette günlük kaydında doğrusaldır). Böylece, noktalar arasında $(x_i, y_i)$ ve $(x_{i+1}, y_{i+1})$ varsayım altında $y = C_i x^{n_i}$ aralık içinde $i$ , elde edersin $n_i = \ln(y_i/y_{i+1})/\ln(x_i/x_{i+1})$ ve $C_i = \ln(y_i) - n_i\ln(x_i)$ . Aralıktan İntegrale Katkı $i$ o zaman

Δ F_{i} = \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} C_{i} x^{n_{i}} d x = {\begin{cases} \frac{C_{i}}{n_{i} + 1} (x_{i + 1}^{n_{i} + 1} - x_{i}^{n_{i} + 1}), & n_{i} \neq - 1 \\ C_{i} (\ln x_{i + 1} - \ln x_{i}), & n_{i} = - 1, \end{cases}

$\Delta F_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} C_i x^{n_i}dx = \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} \frac{C_i}{n_i + 1} (x_{i+1}^{n_i+1} - x_i^{n_i+1}), & n_i \neq -1 \\ C_i(\ln x_{i+1} - \ln x_i), & n_i=-1, \end{array} \right.$ özel durumu tanımlamak için belli bir toleransa ihtiyaç duyduğunuz yerlerde

n_{i} = - 1

$n_i=-1$ uygulamanızda.

— Stefan B. Lindström
kaynak

3

Önceki cevapların bazılarında ve bazı hatalarda değişkenlerin değişmesi ile ilgili biraz karışıklık olduğunu düşünüyorum. Bir log fonksiyonunun integrali, integralin logu değildir. Genel olarak kütüğünün integralini bilen bir fonksiyonun integralini yazmak zordur. Bunu nasıl yapacağını bilen biri ilgimi çeker.

Bu arada, @ Stefan'ın yukarıdaki çözümü log-log uzayına bir fonksiyonu entegre etmenin yoludur. Başlangıç noktası, uğraştığınız işlevin, yeterince küçük segmentler için günlük kaydı alanında doğrusal olmasıdır.

Daha sonra, çizginin denklemini segment uç noktalarına yazabilirsiniz:

\log (y_{1}) = m_{1} \log (x_{1}) + n_{1}

$\log(y_1)=m_1 \log(x_1) + n_1$

\log (y_{2}) = m_{1} \log (x_{1}) + n_{1}

$\log(y_2)=m_1 \log(x_1) + n_1$

nerede $m_1$ çizginin eğimi ve $n_1$ onun y kesişimi.

İkisini çıkararak, kişi şunları bulabilir:

m_{1} = \frac{\log (y_{1}) - l o g (y_{2})}{\log (x_{1}) - l o g (x_{2})}

$m_1=\frac{\log(y_1) -log(y_2)}{\log(x_1)-log(x_2)}$

ve ikameden:

n_{1} = \log (y_{1}) - m_{1} \log (x_{1})

$n_1=\log(y_1)-m_1 \log(x_1)$

Eğer log-log uzayında bir segmentin denklemi bir çizgiye yakınsa, o zaman normal (doğrusal) alanda segmentin denklemi bir üstel değere yakınsa:

y (x) ≃ x^{m} e^{n}

$y(x)\simeq x^{m} e^{n}$

Bu segment için analitik bir formülasyonumuz varsa entegre etmek kolaydır:

\int_{x_{1}}^{x_{2}} y (x) d x = \frac{e^{n_{1}}}{m_{1} + 1} (x_{2}^{m_{1} + 1} - x_{1}^{m_{1} + 1}), for m \neq - 1

$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = \frac{e^{n_1}}{m_1+1}(x_2^{m_1+1}-x_1^{m_1+1}), \,\, \text{for } \, m\neq -1$

ve

\int_{x_{1}}^{x_{2}} y (x) d x = e^{n_{1}} \log \frac{x_{2}}{x_{1}}, for m = - 1

$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = e^{n_1} \log \frac{x_2}{x_1},\, \,\text{for } \, m = -1$

Bu biraz hile gibi hissettirir, ancak bu, log-log uzayında örnekleme yapar, böylece lineer uzaydaki fonksiyonu log-log uzayından türetilmiş parametrelerle üstel hale getirebiliriz.

— Elena Pascal
kaynak

Bu harika @elenapascal, bu 3 yılı aşkın süredir beni rahatsız ediyor ve bence bu çözüm (ya da çok yakın). Son ilişkinizi tam olarak takip etmiyorum, y üzerindeki integralin günlüğe (x2 / x1) eşit olduğunu düşünmüyorum

— DilithiumMatrix

Özellikle, sol taraftaki integralin log([x_2/x_1]^{m_1+1} + 1)günlüğünü

— alırsam

Bugün de beni çok rahatsız etti, ancak yazdıktan sonra @Stefan'ın aynı cevabı gönderdiğini fark ettim. M = -1 için bunu y: y (x) = e ^ n / x tanımında değiştirirsiniz. Bu günlükleri verir. İkinci mesajını takip ettiğimden emin değilim

— Elena Pascal

Ben sadece aynı şeyi fark ettim, ama açıklamanızı

— okuyana

1

Kullandığım çözüm temel olarak yamuk kuralının bir uygulamasıdır ve scipy.misc.logsumexphassasiyeti korumak için bu işlevi kullanır. lnyLogaritmasını döndüren bir fonksiyonunuz yvarsa, bunu yapabilirsiniz, örneğin:

scipy.misc içe aktarma logsumexp
np'yi np olarak içe aktar

xmin = 1e-15
xmax = 1e-5

# x aralıklı değerleri logaritmik olarak al
xvs = np.logspace (np.log10 (xmin), np.log10 (xmax), 10000)

# xvs'daki işlevinizi değerlendirin
lys = lny (xvs)

# yamuk kuralı entegrasyonu gerçekleştir
deltas = np.log (np.diff (xvs))
logI = -np.log (2.) + logsumexp ([logsumexp (lys [: - 1] + delta), logsumexp (lys [1:] + delta)])

Değer logI, istediğiniz integralin günlüğüdür.

Açıkçası bu, ayarlamanız gerekiyorsa çalışmaz xmin = 0. Ancak, eğer integral için sıfır olmayan pozitif bir alt sınırınız varsa xvs, integralin birleştiği yerde bir sayı bulmak için sadece nokta sayısı ile oynayabilirsiniz .

— Matt Pitkin
kaynak