Adveksiyon denklemi için örtülü sonlu fark şemaları

15

Adveksiyon denklemi için çok sayıda FD şeması vardır web'de tartışın. Örneğin burada: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html $\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Ama kimsenin böyle "örtük" bir rüzgâr siperi önerdiğini görmedim: $\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$ .

Gördüğüm tüm upwind şemaları, uzaysal türevin önceki zaman adımındaki verilerle uğraşmaktaydı. Bunun nedeni nedir? Klasik rüzgâr siperi şeması yukarıda yazdığım şema ile nasıl kıyaslanıyor?

finite-difference implicit-methods advection

— tiam
kaynak

15

Hesaplamalı akışkanlar dinamiğinde, önerdiklerinize benzer örtük şemalar kullanmak oldukça yaygındır. Bildiğim olanlar (değil sadece yerine kompakt sonlu farklar formüller dayanmaktadır ile mevcut şemalarda). Örneğin, en yaygın olarak kullanılan şemalardan biri 1992'de Lele tarafından > 2500 alıntı ile geliştirilmiştir. Bu tür şemalar, tipik açık şemalardan daha iyi dağıtıcı özelliklere sahip olabilir. $n$ $n+1$

Örtülü yöntemler ve büyük zaman adımı boyutları kullanılırken yukarı sarma genellikle daha az önemlidir, çünkü büyük miktarda difüzyon (Jeremy tarafından belirtilir), şokları yine de çözemeyeceğiniz anlamına gelir.

Teklif ettiğiniz şema ile ilgili olarak:

Uzayda geriye doğru bir fark ve zamanda geriye doğru (örtük) Euler yöntemi kullanılarak bir hatlar yönteminin ayrıklaştırılmasından elde edilebilir.
olduğu sürece koşulsuz olarak kararlıdır (ilginç olarak için de kararlıdır $u\ge0$ $u<0$ zaman adımı çok küçük değilse !)
Geleneksel açık rüzgar rüzgarı planından daha dağıtıcıdır.
$\tau u/h = 1$ $\tau u/h = -1$

— David Ketcheson
kaynak

Kompakt şemalar hakkında iyi bir nokta, bunlar kesinlikle örtük şemaların önemli bir sınıfıdır! Ayrıca, anti-birim CFL koşulu ve geriye doğru Euler kesin olduğunu

— düşünmedim

Merak ediyorum eğer

u

$u$ ayrıca değişime tabidir

x

$x$ ve böylece uzaysal türevin içinde oturur (eğer alırsak süreklilik denklemini alırız)

ρ

$\rho$ onun yerine

T

$T$ ) basit bir rüzgar rüzgarı düzeni hala iyi mi?

— tiam

Negatif hızları tedavi edebiliyorsa iyidir, çünkü sorunumda durum böyle olabilir.

— tiam

12

Yazdıklarınızı yapamamanız için hiçbir neden yok. Bunun nadir olmasının nedenlerinden biri, hiperbolik (advection) tipi problemler için bağımlılık alanının sonlu olmasıdır. Dolayısıyla, açık bir yöntem hesaplama verimliliği açısından mantıklıdır.

Yazdığınız örtük şema, üçgen yazmış olsanız da doğrusal bir sistemi çözmeyi gerektirecek ve bu nedenle çözülmesi oldukça basit olacaktır. Tabii ki sistemlere ve çoklu boyutlara gittiğinizde, sistem muhtemelen üçgen olmayacaktır, ancak bazen bu bilinmeyenlerin doğru bir şekilde sıralanmasıyla sonuçlanabilir (bkz. Örneğin Kwok ve Tchelepi, JCP 2007 ve Gustafsson ve Khalighi, JSC, 2006 ).

Bazen büyük zaman adımları atma umuduyla, insanlar yazdığınız gibi örtük zaman adımını kullanırlar, ancak burada dikkatli olmalısınız. Örtük bir yöntem kullanırken, büyük miktarda difüzyon uygulayacaksınız, böylece çözümünüzü önemli ölçüde lekeleyeceksiniz.

— Jeremy Kozdon
kaynak

1

@Jeremy: Neden zamanla örtülü ayrıklaştırma ek yayılım getiriyor? içinde

x

$x$ -değişken? Sadece rüzgâr siperi şemasının = merkezi ayrıklaştırma + yayılma olduğunu düşünebilirim, öyleyse neden farklı zaman ayrıklığı bu yayılmayı etkileyecek?

— Kamil