Güçlü ve zayıf PDE çözümleri

Bir PDE'nin güçlü formu, bilinmeyen çözeltinin ait olmasını gerektirir . Ancak zayıf form sadece bilinmeyen çözümün ait olmasını gerektirir . $H^2$ $H^1$

Bunu nasıl uzlaştırıyorsunuz?

pde weak-solution

— Mohamed Cheddadi
kaynak

Zayıf çözümlerin sınıfı güçlü çözümlerin sınıfından daha büyüktür (her güçlü çözüm aynı zamanda zayıf bir çözümdür, ancak her zayıf çözüm aynı zamanda güçlü bir çözüm değildir).

— Christian Clason

Ancak tek bir çözüm var.

— Mohamed Cheddadi

Her (uygun) sağ taraf işlevi veya (uygun) sınır koşulları kümesi için bir çözüm vardır. Uygun RHS veya BC'lerin boşlukları zayıf çözümler için güçlü olanlardan daha büyüktür.

— Bill Barth

En basit Poisson denklemine bakalım bir domain ile birlikte homojen Dirichlet koşulları sınır üzerinde ait . Şimdilik istediğimiz kadar pürüzsüz olduğunu varsayıyoruz (örneğin, bir işlevi tarafından parametrelendirilebilir ) - bu daha sonra önemli olacaktır.

\begin{matrix} (1) & - Δ u = f \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$

\begin{matrix} (2) & u |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$

\partial Ω

$\partial\Omega$

Ω

$\Omega$

\partial Ω

$\partial\Omega$

C^{\infty}

$C^\infty$

Şimdi soru (tamamen resmi) PDE'nin nasıl yorumlanacağıdır . Genellikle bu, türevinin nasıl yorumlanacağı açısından cevaplanır , ancak bizim amacımız için denklemin nasıl yorumlanacağına odaklanmak daha iyidir . $(1)$ $\Delta$

PDE'nin her için noktasal olduğu varsayılır . Bunun anlamlı olması için, sağ taraftaki sürekli olmalıdır, aksi takdirde noktasal değerleri hakkında konuşamayız . Bu, çözeltisinin ikinci (klasik) türevlerinin sürekli olması gerektiği anlamına gelir , yani, aramak zorundayız . Sınır koşulu ile birlikte karşılayan fonksiyonuna klasik çözüm (bazen maalesef güçlü çözüm ) denir . $(1)$ $x\in\Omega$ $f$ $f(x)$ $u$ $u\in C^2(\Omega)$

$u\in C^2(\Omega)$ $(1)$ $(2)$
sürekli olması şartı pratik uygulamalar için çok kısıtlayıcıdır. hemen hemen her (yani, Lebesgue kümeleri hariç her yerde sıfır için noktasını tuttuğunu varsayarsak , o zaman ile kurtulabiliriz . Bu, ikinci türevlerin fonksiyonlar olduğu anlamına gelir , bu da zayıf türevler alırsak ve bu nedenle anlamlı olur . ( Sürekli olmayan işlevleri için sınır koşulunu noktadan alamayacağımızı unutmayın . $f$ $(1)$ $x\in \Omega$ $f\in L^2(\Omega)$ $L^2$ $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $u$ $(2)$ $\partial \Omega$ bir alt kümesi olarak sıfır Lebesgue ölçüsüne sahiptir , neredeyse her yerde mantıklı değildir.) da tatmin edici bir işlev hemen hemen her yerde güçlü bir çözüm denir . Genel olarak böyle bir çözümün var olduğunu ve benzersiz olduğunu göstermenin gerekli ve önemsiz olduğuna dikkat edin (buradaki örnek için durum budur). $\bar\Omega$

$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $(1)$
Zaten zayıf türevlerle uğraşıyorsak, üzerindeki varsayımları daha da rahatlatabiliriz . Biz alırsak bir şekilde muhafazasına soyut operatör denkleminin , dual uzayı , o zaman bu herkes için mantıklı ( daha büyük bir alan ). Çift uzayın ve zayıf türevin tanımına göre, bu anlamda varyasyon denklemine eşdeğerdir. işlevi $f$ $(1)$ $H^{-1}(\Omega)$ $H^1_0(\Omega)$ $f\in H^{-1}(\Omega)$ $L^2(\Omega)$ $(1)$
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) d x = \int_{Ω} f (x) v (x) d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
$u\in H^1_0(\Omega)$ tatmin eden zayıf çözüm olarak adlandırılır . Yine, böyle bir çözümün var olduğunu ve benzersiz olduğunu göstermek genel olarak gerekli ve önemsizdir (buradaki örnek için durum budur). $(3)$

Şimdi, klasik türevler de zayıf türevler olduğundan, her klasik çözüm aynı zamanda güçlü bir çözümdür. Benzer şekilde, , her güçlü çözüm de zayıf bir çözümdür. Diğer yönler daha incedir. $H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

Eğer tek bir çözümü, ayrıca tatmin sahip için (yerine sadece ), daha sonra zayıf çözüm de güçlü bir çözümdür (ve de klasik bir çözümdür, çünkü bu durumda içine gömülür ). Bu özelliğe bazen maksimum (eliptik) düzenlilik denir ve (ve sınır verileri) sınırının yeterince pürüzsüz olduğu varsayılarak Poisson denklemi için geçerlidir . (Yukarıdaki varsayım burada devreye girer.) $(3)$ $u\in H^2(\Omega)$ $f\in L^2(\Omega)$ $H^{-1}(\Omega)$ $n=2$ $H^2(\Omega)$ $C(\bar\Omega)$ $\partial\Omega$
Aksi takdirde, için bile PDE'nin zayıf bir çözümü vardır, ancak güçlü bir çözümü yoktur. $f\in L^2(\Omega)$
$H^1_0(\Omega)$ $H^2(\Omega)$ veya daha karmaşık, doğrusal olmayan denklemler; bkz., ör., http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ .)

— Hıristiyan Sınıfı
kaynak

Bu cevabı gerçekten yararlı buldum. Cevabınızın son kısmına bir referans verebilir misiniz? Bir PDE'nin benzersiz, güçlü bir çözüme sahip olduğu, ancak çoklu zayıf çözümlere izin verdiği bir örnek görmek istiyorum. Teşekkürler!

— İndüksiyon601