Çözme

ve matrislerine sahibim . seyrek ve bir ile çok (birkaç milyon mertebesinde olabilir.), Büyük bir bir ile uzun matris oldukça küçük ( ) ve her sütunun kutunun sadece tek bir sahiptir geri kalan kısım ile girişi öyle ki 's, . çok büyük, bu yüzden tersine çevirmek gerçekten zor ve gibi doğrusal bir sistemi , gibi bir Krylov alt uzay yöntemi kullanarak yinelemeli bir şekilde , ancak yok. $A$ $G$ $A$ $n\times n$ $n$ $G$ $n\times m$ $m$ $1 \lt m \lt 1000$ $1$ $0$ $G^TG = I$ $A$ $Ax = b$ $\mathrm{BiCGStab}(l)$ $A^{-1}$ açıkça.

Formun bir sistem çözmek isteyen: , burada ve olan uzunlukta vektörleri. Bunu yapmanın bir yolu , dış yinelemeli algoritmanın her yinelemesi için için çözmek üzere bir yinelemeli algoritma içinde bir yinelemeli algoritma kullanmaktır . Bununla birlikte, bu işlem oldukça pahalı bir işlemdir. Bu sorunu çözmenin hesaplamanın daha kolay bir yolu olup olmadığını merak ediyordum. $(G^TA^{-1}G)x = b$ $x$ $b$ $m$ $A^{-1}$

— Kostis
kaynak

Cevabımı az önce 0-1 yapısını kullanmaya yönelik bir yorum ekledim.

— Arnold Neumaier,

Yanıtlar:

vektörünü tanıtın ve büyük eşlemeli sistemi , için eşzamanlı olarak, bir yinelemeli yöntem kullanarak çözün. Eğer simetrik ise (açıkça belirtmemeniz muhtemel gibi görünüyorsa) sistem simetriktir (ancak belirsiz, ancak $y:=-A^{-1}Gx$ $Ay+Gx=0$ $G^Ty=-b$ $(y,x)$ $A$ $A$ pozitif olan kesin), bu da uygun bir yöntem seçmenize yardımcı olabilir. (alakalı anahtar kelimeler: KKT matrisi, quasidefinite matrisi).

Düzenleme: karmaşık bir simetrik olduğundan, artırılmış matris de vardır, ancak yarı kesinliği yoktur. Bununla birlikte kullanabilirsiniz hesaplamak için rutin ; bu nedenle, QMR ftp://ftp.math.ucla.edu/pub/camreport/cam92-19.pdf (gerçek sistemler için tasarlanmıştır) gibi bir yöntemi uyarlayabilirsiniz ; sorununuzu çözmek için devrik yeri). $A$ $Ax$ $A^*x=\overline{A\overline x}$

Edit2: Aslında, bir (0,1) -Elektroseramiklerde yapı vasıtasıyla ortadan kaldırmak ki AMD bileşenleri ve böylece çözme için daha küçük bir sistem ile biten, sembolik. Bu, yapısıyla uğraşmak anlamına gelir ve yalnızca , doğrusal bir operatör olarak değil, seyrek biçimde açıkça verildiğinde öder . $G$ $x$ $G^Ty$ $A$ $A$

— Arnold Neumaier
kaynak

Teşekkür ederim! A, karmaşık simetriktir. Arttırılmış matrisin koşulunun orijinal

matrisininkinden daha kötü olmasını beklemenin bir nedeni var mı ? M küçükse, artırılmış matris A boyutundan yalnızca marjinal olarak daha büyüktür, bu yüzden bu artırılmış sistemin tekrar tekrar çözülmesinin A ile bir sistemi çözmekten çok daha zor olmamasından şüpheliyim.

A

$A$

— Costis

İki sistemin durum sayısı genellikle oldukça ilişkili değildir;

ne olduğuna çok bağlı . - Karmaşık simetriden nasıl yararlanılacağı konusundaki cevap bilgilerime ekledim.

G

$G$

— Arnold Neumaier,

Merhaba millet! Tüm cevaplar için teşekkürler; Burası harika! Asıl soruya bir uzantı: Şimdi,

olduğumu varsayalım ; burada G ve A, orijinal sorudakiyle aynı anlama sahiptir, ancak B, nksn matrisinde bir derece değildir (B). A) ile aynı ebatta ve bütün

tam derecelidir. Yeni sistemin çözümüne nasıl devam edersiniz, çünkü şimdi B'nin tersi yoktur, bu yüzden

sahip olamazsınız

(G^{T} A^{- H} B A^{- 1} G) x = b

$(G^TA^{-H}BA^{-1}G)x=b$

G^{T} A^{- H} B A^{- 1} G

$G^TA^{-H}BA^{-1}G$

A B^{- 1} A^{H}

$AB^{-1}A^H$ . Bunun sadece B'nin sözde tersi ile de çalışacağını sanmıyorum.

— Costis

tanıtın ve çalışılan duruma benzer bir şekilde devam edin. (Şüphesiz, ayrıca

tam dereceli matrislere ayırmanız ve ek bir ara vektör vermeniz gerekir .)

y := A^{- 1} G x

$y:=A^{-1}Gx$

z := A^{- H} B y

$z:=A^{-H}By$

B

$B$

— Arnold Neumaier

Merhaba Arnold. Teşekkürler, bu gerçekten işe yarıyor! Bazı çok küçük test örnekleri ile test ettim ve harika çalışıyor. Ancak yinelemeli çözücüm, artırılmış matrisi tersine çeviren büyük sorunlar yaşıyor.

formundaki bir sistemi orijinal A matrisiyle çözmek sadece 80 iterasyon (birkaç saniye) alırken , artırılmış matrisli sistem (2n + mx 2n + m veya 2n-mx 2n- @ wolfgang-bangerth'in yaklaşımını kullanmak, bir RHS'yi çözmek için on binlerce iterasyon (birkaç saat) alır. Yakınsama hızlandırmak için herhangi bir strateji var mı? belki bir ön şartlandırıcı?

A x = b

$Ax=b$

— Costis

Arnold'un cevabını takiben, sorunu basitleştirmek için yapabileceğiniz bir şey var. Spesifik olarak, sistemi . Daha sonra deyimi bu dikkat boyunda ve dar ve her sıra, aksi takdirde daha sonra açıklamada sadece bir 1 ve sıfır olan yollarının elemanlarının bir alt kümesini sabit bir değer, yani elemanlara sahip . $Ay+Gx=0, G^Ty=-b$ $G$ $G^Ty=-b$ $y$ $-b$

Bizim basit olması için diyelim vardır sütun ve satır tam olarak ilk olarak bu satırları tanesi olanlar ve bu elemanlarını yeniden düzenlenmesi olabilir O kadar o kadar yapabilir bulunur üstünde kimlik matrisi ve altındaki sıfır matrisi. Sonra "sınırlı" ve "boş" elemanlara bölebilirim . $G$ $m$ $n$ $m$ $x$ $G$ $m \times m$ $n-m \times m$ $y=(y_c,y_f)$ $m$ $n-m$ . Ben bölümü de olabilir böylece . denklemindensonra şunu alıyorum: $y_c=-b$ $A$ $A=\begin{pmatrix} A_{cc} & A_{cf} \\ A_{fc} & A_{ff} \end{pmatrix}$ $Ay+Gx=0$ ve yaklaşık bildiklerini kullanılarak bu denklemlerin ikinciden sahip ve dolayısıyla Başka bir deyişle, ters çevirmeniz gereken tek matris alt kümesidir.

A_{c c} y_{c} + A_{c f} y_{f} + x = 0, A_{f c} y_{c} + A_{f f} y_{f} = 0

$A_{cc} y_c + A_{cf} y_f + x = 0, \\ A_{fc} y_c + A_{ff} y_f = 0$

y_{c}

$y_c$

A_{f f} y_{f} = A_{f c} b

$A_{ff} y_f = A_{fc} b$

x = A_{c c} b - A_{c f} A_{f f}^{- 1} A_{f c} b .

$x = A_{cc} b - A_{cf} A_{ff}^{-1} A_{fc} b.$

A

$A$ olan sıralar ve sütunlar halinde belirtilmeyen

(sıfır alan

). Bunu kolayca yapabilirsiniz: (i) hesaplama

; (ii) çözmek için gereken çözücüyü kullanın

; (iii) hesaplama

G

$G$

G

$G$

z = A_{f c} b

$z=A_{fc} b$

A_{f f} h = z

$A_{ff} h = z$

x = A_{c c} b - A_{c f} h

$x = A_{cc} b - A_{cf} h$

Başka bir deyişle, yapısı göz önüne alındığında, sahip olduğunuz lineer sistemi çözmek, ile tek bir lineer sistemi çözmekten daha zor değildir . $G$ $A$

— Wolfgang Bangerth
kaynak

$G$ $G^T$ $A$

$G^T A^{-1} G x = b$

$G G^T A^{-1} G x = G b$

$G^T G = I$ $G^T = G^{-1}$ $G G^T=I$

$A^{-1} G x = G b$

$A A^{-1} G x = A G b$

$G x = A G b$

$G^T G x = G^T A G b$

$x = G^T A G b$

$G$ $A$ $b$

— Phil H
kaynak

G^{T}

$G^T$

G

$G$

G = e_{1}

$G=e_1$

G^{T} = e_{1}^{T}

$G^T=e_1^T$

G G^{T} = e_{1} e_{1}^{T} \neq I

$GG^T=e_1e_1^T\neq I$

G \in C^{n} \otimes C^{m}

$G\in \mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^m$

G^{T} G = I_{m \times m}

$G^TG=I_{m\times m}$

G G^{T} \neq I_{n \times n}

$GG^T\ne I_{n\times n}$