Hızlı ve Geriye İstikrarlı (solda)

Çok fazla hesaplamak zorundayım $3\times3$ çok az sayıda dejenere vaka ile (Newton yineleme polar ayrışması için) matris tersleri ( $<0.1\%$ ).

Açık ters (determinant ile bölünen matris küçükler aracılığıyla) işe yarıyor gibi görünüyor ve yaklaşık ~ 32 ~ 40 kaynaşmış flop (determinantın karşılıklı nasıl hesapladığım bağlı olarak). Det ölçeği faktörü göz önüne alındığında, sadece 18 kaynaşmış flop (9 elementin her biri ab-cd, 2 kaynaşmış flop şeklindedir).

Soru:

Tersini hesaplamanın bir yolu var mı $3\times 3$ 18'den az (keyfi skala ile) veya 32 (uygun skala ile karşılıklı 1 op dikkate alınarak) kaynaşmış floplar mı kullanıyorsunuz?
Bir ters geriye doğru sol hesaplamak için ekonomik bir yolu var mı (~ 50 f-flop kullanarak) $3\times 3$ matris?

Tek duyarlıklı şamandıralar kullanıyorum (iOS oyunu). Geriye dönük istikrar benim için ilginç yeni bir kavram ve denemek istiyorum. İşte düşünceyi kışkırtan makale .

— Sergiy Migdalskiy
kaynak

Cayley-Hamilton teoremini tersine kullanmaya ne dersiniz?

— nicoguaro

Bu sizin için böyle bir darboğazsa, kutup ayrışması için başka bir algoritma bu durumda daha hızlı olabilir mi? Örneğin, SVD aracılığıyla? Veya eprints.ma.man.ac.uk/694/01/covered/MIMS_ep2007_9.pdf 3.3 ' te olduğu gibi Newton yöntemini hızlandırmak ?

— Kirill

Hızlı ile ilgili ilk soru üzerine düşüncelerimi vermeye çalışacağım $3\times 3$ ters . Düşünmek

A = [\begin{array}{ccc} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{array}]

$A=\left[ \begin{array}{ccc} a & d & g\\ b & e & h\\ c & f & i \end{array}\right]$

Matrisler küçük ve çok genel olduğundan (bilinen herhangi bir yapı, sıfırlar, elementlerin göreceli ölçeklerini içermez), bence keyfi ölçek için bir algoritma vermenin imkansız olacağını düşünüyorum ( $1/\det(A)$ ) tersine, 18 kaynaşmış floptan daha hızlıdır, çünkü 9 öğeden her biri 2 kaynaşmış flop gerektirir ve girişleri . Burada , esasen bir "keyfi ölçek" ile ters (tersi olduğu takdirde). $A$ $a,\ldots,i$

A^{- 1} det (A) = adj (A) = [\begin{array}{ccc} e i - f h & d i - f g & g e - d h \\ b i - c h & a i - c g & a h - b g \\ c e - b f & a f - c d & a e - b d \end{array}]

$A^{-1}\det(A)=\text{adj}(A)= \left[\begin{array}{ccc} ei-fh & di-fg & ge-dh\\ bi-ch & ai-cg & ah-bg\\ ce-bf & af-cd & ae-bd \end{array}\right]$

adj (A)

$\text{adj}(A)$

Ancak, nın hesaplanması için bazı hesaplamalar yeniden kullanılabilir . İlk sütun üzerinde genişletirsem (5 seçenek daha vardır): Dikkat edin, (* ), değerlendirilmesi sırasında zaten hesaplanmıştır . Böylece, determinantın karşılıklılığı 4 ek kaynaşmış flopta hesaplanabilir (eğer karşılıklı 1 flop olarak kabul edilirse ). $\det(A)$

\begin{aligned} det (A) & = a (e i - f h) + b (f g - d i) + c (d h - g e) \\ = a \underset{*}{\underset{⏟}{(e i - f h)}} - b \underset{*}{\underset{⏟}{(d i - f g)}} - c \underset{*}{\underset{⏟}{(g e - d h)}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \det(A)&=a(ei-fh)+b(fg-di)+c(dh-ge)\\ &=a\underbrace{(ei-fh)}_*-b\underbrace{(di-fg)}_*-c\underbrace{(ge-dh)}_* \end{aligned}$

adj (A)

$\text{adj}(A)$

1 / det (A)

$1/\det(A)$

Şimdi, nın her 9 unsuru , belirleyicinin halihazırda elde edilen karşılığı ile ölçeklenmeli ve 9 kaynaşmış başka bir flop eklenmelidir. $\text{adj}(A)$

Yani,

18 kaynaşmış flopta hesapla $\text{adj}(A)$
Zaten hesaplanmış girişlerini kullanarak 3 kaynaşmış flopta hesapla $\det(A)$ $\text{adj}(A)$
bulun (1 flop olduğu varsayılarak). $\frac{1}{\det(A)}$
Önceden hesaplanmış her elelemt Scale ile başka 9 kaynaşık flop. $\text{adj}(A)$ $\frac{1}{\det(A)}$

Sonuç 18 + 3 + 1 + 9 = 31 kaynaşmış flop . Determinant hesaplama yolunuzu tarif etmediniz, ama sanırım 1 ek flop kaydedilebilir. Veya adım 3'te kontrolünü gerçekleştirmek için kullanılabilir , burada , dejenere (ters çevrilemez) durum için toleranstır ve 32 kaynaşmış flop ile sonuçlanır ( 1 flop olduğu varsayılarak ). $|\det(A)|>\epsilon$ $\epsilon$ if

Kalan tüm hesaplamalar benzersiz olduğundan genel matrisin tersini hesaplamanın daha hızlı bir yolu olduğunu düşünmüyorum . Cayley-Hamilton kullanmak hız açısından yardımcı olmamalıdır, genel olarak, diğer bazı işlemlerin yanı sıra matris için hesaplanmasını gerektirecektir . $3\times 3$ $A^2$ $3\times 3$

NB:

bu cevap sayısal kararlılıkla ilgilenmiyor
bellek erişim düzeninin vektörleştirilmesi ve optimize edilmesi için olası potansiyel de tartışılmamıştır

— Anton Menshov
kaynak