Kuvvet serileri haritalarının kullanımı

Hızlandırıcı fiziği alanındanım, özellikle dairesel depolama halkalarıyla ilgilisenkrotron ışık kaynakları için. Yüksek enerjili elektronlar manyetik alanlar tarafından yönlendirilen halkanın etrafında dolaşır. Elektronlar milyarlarca kez dolaşır ve kararlılığı tahmin etmek ister. Elektronların hareketini halkanın bir noktasında faz boşluğu (pozisyon, momentum boşluğu) olarak tanımlayabilirsiniz. Halkanın etrafındaki her bir dönüş, parçacık yeni bir konuma ve momentuma geri döner ve bu, faz uzayında "tek dönüşlü harita" adı verilen bir haritayı tanımlar. Başlangıç noktasında sabit bir nokta olduğunu varsayabiliriz ve böylece bir güç serisinde genişletilebilir. Böylece, yinelenen kuvvet serisi haritalarının kararlılığı hakkında bilgi edinmek ister. Bununla ilgili birçok zor soru var ve konunun eski bir tarihi var. Kesik Kuvvet Serisi Cebir olarak adlandırılan çok sayıda kütüphane uygulanmıştır. (Bkz.Bu kağıt Y. Yan tarafından zlib hakkında. Fizik hakkında daha fazla bilgi ve analize bir yaklaşım normal form yaklaşımıdır, örneğin Bazzani et. ark. Burada .) Sorun, böyle bir kitaplık kullanın ve nasıl kararlılık sorunu çözmek için nasıl olduğunu. Kiriş dinamiğinde kullanılan ana yaklaşım, başarılı olduğuna inandığım normal form analizi olmuştur. Spektral yöntemlerle çeşit belki gibi bir şey çizgisinde (diğer alanlarda geliştirilmiştir acaba bu?). Birisi, yinelenen güç serilerinin sabit bir nokta ile orijininde sabit bir nokta ile analiz edildiği başka bir alan düşünebilir, böylece bilgiyi paylaşabilir veya yeni fikirler edinebiliriz? Bildiğim bir örnek Fishman ve "Hızlandırıcı Modları" nın atom fiziğindeki çalışmasıdır. Başkaları var mı? Başka hangi sistemler tekme rotor veya Henon haritası olarak modellenebilir?

algorithms polynomials

— Boaz
kaynak

Terminolojiniz hakkında biraz ayrıntılı bilgi vermeniz faydalı olabilir. Örneğin, bahsettiğiniz tüm matematiksel kavramlara aşinayım, ancak bu bağlamda ne demek istediğinizi "bir faz alanı haritası" ile görselleştiremiyorum. Özel alanınızda bunun bir açıklama gerektirmediğinden eminim, ancak diğer uzmanlıklardan insanlar, ne demek istediğinizi biraz daha açıklarsanız size nasıl yardımcı olacaklarını bileceklerini fark edebilirler.

— Colin K

Bu aslında iyi bir nokta: muhtemelen bu site birçok farklı bilimsel disiplinden insanları bir araya getireceğinden, alana özgü terimlerin tanımlanması (veya en azından açıklamalara bağlantı) özellikle önemli olacaktır.

— David Z

Anlaştılar, Collin ve David. Yorumlar için teşekkürler. Faz uzayı pozisyon-momentum uzayıdır. Halkadaki bir pozisyonu düşünün ve elektronun enine pozisyonu ve momentumu (hızı) vardır. Halka bir kez döndükten sonra, yeni bir pozisyona ve hıza sahip olacaktır. Buna tek dönüşlü harita denir. Doğrusal olsaydı, faz boşluğunda bir elipsi izleyen harmonik bir osilatör gibi olurdu. Genelgesinin olduğu durumda, harita x_1 = cos (teta) x_0 + sin (teta) p_0 ve p_1 = -sin (teta) x_0 + cos (teta) p_0 biçimine sahip olacaktır. Bu netleşiyor mu?

— Boaz

Işın fiziği ve hesaplama literatürüne birkaç referans ekledim ve faz boşluğunun kısa bir tanımını ekledim.

— Boaz

Bu arada, burada Stack Exchange, Mathematics ile ilgili benzer bir soru sordum . Orada matematiksel bir bakış açısıyla kararlılık sorusuna çözümler soruyordum. Burada, aynı sorunun diğer bilimsel konularda var olup olmadığını merak ediyordum, çünkü biraz genel görünüyor, ancak ışın dinamiklerinin dışında çok fazla bağlantı kurmadı. Bildiğim bir alan atom fiziğindeki hızlandırıcı modları . Başkaları var mı?

— Boaz

Yanıtlar:

Muhtemelen bunu zaten biliyorsunuz, ama kaos teorisi ve fraktallar dünyasından bir şey gibi geliyor? (dolayısıyla hesaplamalı olarak "zor" dur)

Sorunuza, gezegen mekaniği ve N-vücut problemleri dünyasına baktınız mı? Bunlar da yinelemeli çözümler kullanmaya zorlanır ve temel fizik N ^ 2'dir, ancak kuvvet kaynaklarının tipik olarak da hareket etmesine izin verilir - sadece işleri daha da karmaşıklaştırmak için.

Onlara baktığımdan bu yana uzun zaman geçti, ancak faz kararlılık haritalarından bahsetmeniz Henon Haritalarına çok benziyor. Bunların daha geniş uygulamalara sahip olması gerektiğinden eminim, ancak genellikle gezegen stabiliteleri (örneğin, bir gezegen-ay sisteminde ikinci bir ayın istikrarı) olarak tanımlanırlar.

— winwaed
kaynak

Evet, Henon haritası tam olarak hızlandırıcı ışın dinamiklerinde sahip olduğumuz şeydir. N-vücut problemine benzerlik ile ilgili problem, alanın çok daha büyük olmasıdır. "Faz-uzay" 6xN boyutundayken, bir depolama halkasındaki tek parçacık için genel durumda sadece 6-boyutludur. Diğer alan adlarının dinamikleri modellemek için Henon haritası gibi bir şeyle sonuçlandığını merak ediyorum. Kaos teorisi rotası boyunca nüfus dinamikleri teorisine de bakmayı düşündüm. Cevap için teşekkürler.

— Boaz

Ayrık Dinamik Sistemlerin asimtotik davranışlarını inceleyebilirsiniz . Bu konuda hem matematikte zengin bir teorik literatür hem de fizik ve bilgisayar biliminde daha uygulamalı literatür vardır.

— MRocklin
kaynak

Teşekkürler Mrocklin. Genel literatüre biraz baktım ve bir çözüm bulamadım, ya da belki çok matematikseldi ve aynı problemi anlayabileceğim şekilde bulamadım.

— Boaz

İşte bu alandan bazı sorular: (1) Yörüngeler mi oluşturuyorsunuz - yani birkaç tekrardan sonra aynı noktaya dönüyor musunuz? (2) Sisteminiz küçük bozulmalara karşı duyarlı mı - yani başlangıç durumunuzdan biraz uzakta bir duruma başlarsak, çılgınca farklı bir yerde mi ortaya çıkacak? (3) Bazı uydurmalar, bazıları uysalken çılgınca hareket ediyor mu? Bu tür sorulara cevap vermek, fiziksel sisteminizin özellikleri hakkında bir fikir verebilir.

— MRocklin

(1) Kökenine yakın, dinamikler stabildir ve kapalı yörüngeler oluşturur. Daha da ileri giderek, bazen diğer istikrar adaları bulunur. Ve sonra daha da uzakta, dinamikler kararsız, yani sınırsız. (2) Bazı yönler hassastır, bazıları değildir. Kararlı yörüngeler herhangi bir bozulmaya karşı çok hassas değildir. (3) Pertürbasyonlar tipik olarak belirli bir sıklıkta periyodik olarak etki eder. Bazı frekanslar, küçük pertürbasyonlar için bile dinamikleri önemli ölçüde değiştirebilen rezonanslara neden olur. Ancak bu tür frekansların tehlikeli olduğunu önceden bilmek iyi anlaşılamamıştır.

— Boaz

Taylor model yöntemlerine bakmak faydalı olabilir; Bu güzel bir genel bakış makalesi gibi görünüyor. COZY sonsuzluğunun istediğiniz şeyi yapıp yapamayacağını deneyin .

— Erik P.
kaynak

Teşekkürler Erik. Evet, COZY sonsuzluğuna biraz aşinayım. Bağlantı verdiğiniz makale, farklı fonksiyonları hesaplamak ve hatalar üzerindeki sınırları bulmak için güç serilerini kullanma yöntemlerine genel bir bakış için yararlı görünüyor. stabilite bölgesi için nasıl çözüldüğü. Örneğin normal form yöntemlerinin bunu yapabileceğini sanmıyorum. Işın dinamiğinde etkili bir tema oldu, ama problemi çözdüğünü görmüyorum.

— Boaz