DG-FEM'deki sayısal akının rolü

13

Hesthaven / Warburton kitabını kullanarak DG-FEM yöntemlerinin arkasındaki teoriyi öğreniyorum ve 'sayısal akının' rolü hakkında biraz kafam karıştı. Bu temel bir soru ise özür dilerim, ama baktım ve tatmin edici bir cevap bulamadım.

Doğrusal skaler dalga denklemini düşünün: burada lineer akı.

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f (u)}{\partial x} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$

f (u) = a u

$f(u) = au$

Hesthaven'ın kitabında tanıtıldığı gibi, her elementi için, her bir temel fonksiyon için bir tane olan denklemleri ile sonuçlanıyoruz , artıkların zayıf bir şekilde yok olmasını sağlıyoruz: $k$ $N$

R_{h} (x, t) = \frac{\partial u_{h}}{\partial t} + \frac{\partial a u_{h}}{\partial x}

$R_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x}$

\int_{D^{k}} R_{h} (x, t) ψ_{n} (x) d x = 0

$\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0$

İnce. Bu yüzden 'zayıf form'a (1) ulaşmak için bir kez parçalarla entegrasyondan geçiyoruz ve' güçlü formu '(2) elde etmek için parçalarla iki kez entegre ediyoruz. Hesthaven'ın 1D'de aşırı derecede basit ama kolayca genelleştirilmiş yüzey integral formunu benimseyeceğim:

(1)

\int_{D^{k}} (\frac{\partial u_{h}^{k}}{\partial t} ψ_{n} - a u_{h}^{k} \frac{d ψ_{n}}{d x}) d x = - \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h})^{*} ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} \left( \frac{\partial u_h^k}{\partial t} \psi_n-au_h^k\frac{d \psi_n}{d x} \right)\, dx = - \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot(au_h)^*\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

(2)

\int_{D^{k}} R_{h} ψ_{n} d x = \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h}^{k} - (a u_{h})^{*}) ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} R_h \psi_n\, dx = \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot \left( au_h^k-(au_h)^* \right)\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

Neden sayısal bir akı seçiyoruz? Neden akı kullanmak yerine (1) 'deki sınırda değerini kullanmıyoruz? Evet, bu miktarın değerinin elemanlar arasında çarpımla tanımlanabileceği doğrudur, ancak her denklem sadece 1 elemanın üzerinde , peki bu neden önemlidir? $au_h^k$ $D^k$

Ayrıca, ikinci entegrasyonun parçalarla sınır terimi, (2) de ikinci kez açıkça farklı bir miktar verir . Aynı işlemi yapıyoruz! Neden iki sınır koşulu iptal olmaz (2) işe yaramaz? Yeni bilgileri nasıl tanıttık? $au_h^k$

Açıkçası yöntem için önemli bir şey eksik ve bunu düzeltmek istiyorum. Bazı gerçek ve fonksiyonel analizler yaptım, bu yüzden formülasyonla ilgili daha teori tabanlı bir cevap varsa bilmek istiyorum!

finite-element discontinuous-galerkin

— user3482876
kaynak

6

u

$u$

u

$u$

8

Tylers yorumu ile ilgili, ancak IMO daha da önemli: akı da farklı alt problemler arasında bir bağlantı ortaya koyuyor. Aksi takdirde, bilginin ayrık anlamda yayılması söz konusu olamaz.

— Christian Waluga

3

Sayısal akı, problemdeki bilgilerin denklemin karakteristik eğrileri (yukarı sarma) yönünde hareket etmesini sağlamak için seçilir. Yorumlarda belirtildiği gibi, her bir elemanda tanımlanan alt problemleri birleştirmek için sayısal akı gereklidir.

Sayısal akının rolü için bir sezgi elde etmenin bir yolu, aşağıdaki basit örneği dikkate almaktır.

$a=1$

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 on Ω,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad\text{on $\Omega$},$

Ω = [0, 1]

$\Omega = [0,1]$

x = 0

$x = 0$

x = 1

$x = 1$

u (0, t) = g_{D}

$u(0,t) = g_D$

g_{D}

$g_D$

$D_1 = [0,1/2]$ $D_2 = [1/2,1]$

\begin{aligned} (PDE 1): & v_{t} + v_{x} & = 0 on D_{1}, \\ (PDE 2): & w_{t} + w_{x} & = 0 on D_{2}, \end{aligned}

$\begin{align*} \text{(PDE 1):}&& \quad v_t + v_x &= 0 \quad\text{on $D_1$},\\ \text{(PDE 2):}&& \quad w_t + w_x &= 0 \quad\text{on $D_2$}, \end{align*}$

$D_1$ $D_2$

$D_1$ $v(0,t) = g_D$ $D_2$ $w(1/2,t) = v(1/2,t)$

$\psi$ $D_k$

\begin{aligned} \int_{\partial D_{1}} \hat{n} \cdot v ψ d x & = {[v ψ]}_{0}^{1 / 2} \\ \int_{\partial D_{2}} \hat{n} \cdot w ψ d x & = {[w ψ]}_{1 / 2}^{1} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{\partial D_1} \hat{n} \cdot v \psi \, dx &= \left[ v\psi \right]_0^{1/2}\\ \int_{\partial D_2} \hat{n} \cdot w \psi \, dx &= \left[ w\psi\right]_{1/2}^1 \\ \end{align*}$

v

$v$

w

$w$

D_{1}

$D_1$

D_{2}

$D_2$

v (0, t)

$v(0,t)$

g_{D}

$g_D$

w (1 / 2, t)

$w(1/2,t)$

v (1 / 2, t)

$v(1/2,t)$

$u_h^* = g_D$ $x = 0$ $u_h^* = v(1/2,t)$ $x=1/2$

Olaylara bu şekilde baktığımızda, sayısal akı fonksiyonlarının, denklemlerin karakteristik yapısına saygı duyacak şekilde denklemleri birleştirmek için gereken her eleman üzerindeki sınır koşullarını zayıf bir şekilde uyguladığı düşünülebilir.

Sabit katsayılı adveksiyondan daha karmaşık denklemler için, bilgi her zaman aynı yönde ilerlemeyebilir ve bu nedenle sayısal akı arabirimdeki bir Riemann probleminin çözülmesi (veya çözüme yaklaşılması) ile belirlenmelidir. Bu, Hesthaven'in kitabının 2.4. Bölümünde doğrusal sorunlar için tartışılmıştır.

— Will P.
kaynak

1

Çok gevşek bir şekilde konuşursak, DG'yi kullanıp kullanmadığınızdan bağımsız olarak, PDE'nizin gerçek çözümüne yakınsama için en ayrıklaştırma tekniklerinin ihtiyaç duyduğu iki şey vardır:

$u$
Kararlılık (verilerdeki küçük değişiklikler cevapta küçük değişikliklere neden olur)

PDE ile başlayıp yalnızca oradan yasal işlemler uyguladığınız için, her mesh öğesinde parçalarla entegre ettiğiniz bir DG derivasyonunun ilk adımları korunur (1).

Bu size (2) vermez. Kısmen formüle edilmiş bir DG zayıf formunun matrisini birleştirmeye ve özdeğerlerine bakarak bunu kendiniz görebilirsiniz - zamana bağlı sorun için hepsini sol yarı düzlemde istiyoruz, ancak uygun bir sayısal akı olmadan her yerde olacaklar. Bu, fiziksel sorun olmasa bile zaman içinde katlanarak patlayan bir çözüme yol açar.

$u$

İşin püf noktası, atlamaların ve ortalamaların kombinasyonlarını almak ve bunları, şemanızın hala tutarlı ancak aynı zamanda kararlı olacak şekilde birleştirmektir. Bundan sonra bir yakınsama teoremi genellikle kendini gösterir.

Bu temeldir, ancak sayısal akıya sıklıkla ek fizik de getirebilirsiniz, böylece bu matematiksel gereksinimleri karşılamaz, aynı zamanda koruma ilkeleriyle de güzelce oynar.

— Reid.Atcheson
kaynak

0

DG yönteminde deneme işlevine eşit test işlevini seçtiğinizde, bir optimizasyon sorunu oluşturursunuz. Yani, Petrov-Galerkin yönteminden ziyade bir Galerkin var. L2 normunda kalan elementi en aza indirecek deneme fonksiyonu genliklerinin zaman türevlerini arıyorsunuz ve bu minimasyonu girişteki belirli bir akı fonksiyonunun varsayımı üzerine yapıyorsunuz.

— Philip Roe
kaynak