Büyük bir matrisin yaklaşık spektrumu

Büyük bir seyrek matrisin (tüm yüz binlerce satır) spektrumunu ( tüm özdeğerleri) hesaplamak istiyorum . Bu zor.

Yaklaşmaya razı olmaya hazırım. Bunu yapmak için yaklaşık yöntemler var mı?

Bu soruya genel bir cevap vermeyi umuyorum, ancak aşağıdaki özel durumdaki bir cevaptan da memnun olurum. Benim matris olup Normalize Laplace büyük grafik. Özdeğerler 0 ile 2 arasında olacak ve çok sayıda 1 civarında kümelenecek.

Grafiğiniz yönlendirilmezse (şüphelendiğim gibi), matris simetriktir ve Lanczsos algoritmasından daha iyi bir şey yapamazsınız (kararlılık için gerekirse seçici yeniden dikeyleştirme ile). Tam spektrum 100000 sayıdan oluştuğundan, ağırlıklı olarak spektral yoğunlukla ilgileniyorsunuz.

Yaklaşık bir spektral yoğunluk elde etmek için, 100 boyutunda önde gelen Krylov altuzayının spektrumunu alın ve ayrık yoğunluğunu düzgünleştirilmiş bir versiyonla değiştirin.

Önde gelen Krylov spektrumu, iyi izole edilmiş özdeğerleri (varsa) çözecek, izolat olmayan spektrumun sonundaki özdeğerlere yaklaşacak ve kümülatif dağılım işlevi gerçek spektrumunkine benzeyen bir dağılım ile aralarında biraz rastgele olacaktır. . Boyut büyürse ona tam aritmetik olarak yaklaşır. (Operatörünüz sonsuz boyutlu olsaydı, durum hala böyle olurdu ve sürekli spektrumdaki gerçek spektral yoğunluk işlevinin integralini alırsınız.)

Arnold Neumaier'in cevabı, Lin Lin, Yousef Saad ve Chao Yang (2016) tarafından yazılan "Büyük Matrislerin Spektral Yoğunluklarına Yaklaşma" başlıklı makalenin 3.2 bölümünde daha ayrıntılı olarak ele alınmaktadır .

Diğer bazı yöntemler de tartışılmıştır, ancak makalenin sonundaki sayısal analiz Lanczos yönteminin bu alternatiflerden daha iyi performans gösterdiğini göstermektedir.

Özdeğer olmayan, ancak bir anlamda hala spektrum hakkında bir şeyler söyleyen işlevler hakkında düşünmeye hazırsanız, Rice Üniversitesi'nde Mark Embree'nin bazı çalışmalarına bakmanız gerektiğini düşünüyorum.

İşte spektrumu karakterize etmenin başka bir yolu.

Özdeğer problemi verildiğinde (gerçek simetrik ve ayrılmış özdeğerleri varsayalım ; ikincisi muhtemelen gerekli olmasa da), bulaşmış spektral yoğunluğu Vurduktan sonra örneğin http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427(96)00018-0 in bir literatür araştırmasında, ize yönelik tarafsız bir Monte Carlo tahmincisinin burada rastgele vektör her girişi$\mathbf{A} v_k = \lambda_k v_k$$\mathbf{A}$

$$S(\omega) = \sum_k \frac{\pi^{-1}\sigma}{\sigma^2 + (\lambda_k - \omega)^2} = \frac{\sigma}{\pi} \mathop{\mathrm{Tr}} [\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1}$$ z+1-1σω[σ2+(ω-bir)2]-1z[ω+iσ-A]-1[ω-iσ-A]-1 $$S(\omega) = \frac{\sigma}{\pi}\langle z^T [\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1} z \rangle$$ $z$her biri için 0,5 olan veya içerir . Verilen ve , ters ürün , örneğin konjuge gradyan yöntemi veya seyrek LU ile hesaplanabilir doldurmayı en aza indirmek için . Bu, büyük matrisler için de tahminine izin verir . Pratikte, CG çözümünün çok doğru olması gerekmiyor gibi görünüyor ve ortalamanın hesaplanmasında da pek çok vektör gerekli değil. Bu soruna bağlı olabilir.$+1$$-1$$\sigma$$\omega$$[\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1} z$$[\omega + i \sigma - \mathbf{A}]^{-1} [\omega - i \sigma - \mathbf{A}]^{-1}$$S(\omega)$

Yukarıdakilerin, spektrumun parçalarını benzer şekilde bulaşmış Krylov spektral yoğunluğundan daha eşit bir şekilde tarttığı görülüyor --- diag (linspace (0, 1, 150000)) 'yi deneyin, ancak belki de bunun için bir yol var mı? Bu, psödospektral yaklaşıma biraz benzer, ancak sonuç , en yakın özdeğer ile ters mesafe yerine, noktasına yakın olan (bulaşmış) özdeğer sayısını gösterir .$\omega$

DÜZENLEME : Yukarıdaki miktarı hesaplamak için daha iyi performans gösteren bir alternatif, Chebyshev momentlerini hesaplamak (yukarıdaki gibi benzer stokastik değerlendirme yoluyla) ve daha sonra onlardan spektral yoğunluğu yeniden oluşturmaktır. Bu, ne matris inversiyonu ne de her bir için ayrı hesaplamalar gerektirmez . Bkz. Http://theorie2.physik.uni-greifswald.de/downloads/publications/LNP_chapter19.pdf ve buradaki referanslar.$\omega$

Bkz. Sanjiv Kumar, Mehryar Mohri ve Ameet Talwalkar (ICML 2009.) tarafından yazılan "Örnekleme Tabanlı Yaklaşık Spektral Ayrışma Üzerine" makalesi. Matrisinizin sütun örneklemesini kullanır.

Matrisiniz simetrik olduğundan aşağıdakileri yapmanız gerekir:

A n * n matrisiniz olsun. Bir n * n matrisinin özdeğerlerinin hesaplanmasını bir k * k matrisinin özdeğerlerinin hesaplamasına azaltmak istiyorsunuz. Önce k değerini seçin. 500 * 500 matrisinin özdeğerlerini kolayca hesaplayabileceğiniz için k = 500 seçtiğinizi varsayalım. Ardından, A matrisinin k sütunlarını rastgele seçin. Yalnızca bu sütunları ve karşılık gelen satırları tutan B matrisini yapılandırın.

B = A (x, x) rastgele bir k dizini kümesi x için

B şimdi ak * k matrisidir. B'nin özdeğerlerini hesaplayın ve (n / k) ile çarpın. Artık A'nın n özdeğerleri gibi yaklaşık olarak dağıtılan k değerleriniz var. N değil, yalnızca k değerlerini aldığınıza dikkat edin, ancak dağılımları doğru olacaktır (bir tahmin oldukları gerçeğine kadar).

Özdeğerlere yaklaşık olarak her zaman Gershgorin dairesi Teorem sınırlarını kullanabilirsiniz.

Diyagonal olmayan terimler küçükse, diyagonalin kendisi spektrumun iyi bir yaklaşımdır. Aksi takdirde, eigenspace (diğer yöntemlerle) yaklaşık olarak sonuçlanırsanız, bu sistemdeki diyagonal girişleri ifade etmeye çalışabilirsiniz. Bu daha küçük diyagonal olmayan terimlere sahip bir matrise yol açacak ve yeni diyagonal spektrumun daha iyi bir yaklaşımı olacaktır.