Sabit nokta probleminde monotonik olmayan yakınsama

Arka fon

Sıvı teorisinden Ornstein-Zernike denkleminin bir varyantını çözüyorum . Soyut sorun sabit nokta sorunun çözümü olarak temsil edilebilir burada, , bir intagral- cebirsel operatör ve bir çözeltisi fonksiyonu (OZ doğrudan bir korelasyon fonksiyonu gibi). I bir ilk test çözeltisi temin Picard yineleme ile çözme am düzeni ile, yeni çalışma solüsyonları ve elde burada , ve karışımlarını kontrol eden ayarlanabilir bir parametredir$A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$Bir sonraki deneme çözümünde kullanılır. Bu tartışma için, değerinin önemsiz olduğunu varsayalım . Yineleme istenen bir tolerans dahilinde birleşene kadar tekrar ediyorum, : Problemin varyantında , bir parametrenin bağlıdır ve sorum, yakınsamasının bu parametreye nasıl bağlı olduğu hakkındadır .$\alpha$$\epsilon$ $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

için geniş bir değer aralığı için , yukarıdaki yineleme şeması katlanarak hızlı bir şekilde birleşir. Bununla birlikte, düşürdüğümde , sonunda yakınsamanın monotonik olmadığı, aşağıda resmedildiği bir rejime ulaşıyorum. $\lambda$$\lambda$

Anahtar sorular

Sabit nokta problemlerine tekrarlanan çözümlerde, monotonik olmayan yakınsamanın özel bir önemi var mı? Yinelemeli planımın istikrarsızlığın eşiğinde olduğuna işaret ediyor mu? En önemlisi , monoton olmayan yakınsama, "yakınsama" çözümünün sabit nokta problemine iyi bir çözüm olmadığından şüphelenmeli mi?

Varsayalım çözeltisi bilinmeyen bağımsız bir değişkendir , daha sonra sabit nokta yöntemi, bir noktadan yakınsayacağı şu koşulla ki Jacobi ; burada sabit bir . Genel olarak tek bir nokta değildir, ancak yinelemeli şema tarafından geçilen etki alanıdır.$x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. Çözümün edilir dışı monotonik olsa yakınsak. Gördüğünüz şeyi açıklayabilecek yakınsama kriterlerini karşılamadan tatmin etmemeye gidip gitmediğinizi görmek için Jacobian'ınızda çeşitli değerleri ve çözüm değişkeni olup olmadığını kontrol edin.$\lambda$

2. Çözümünüz, küçük sayıları da hesaba katan düzgün kurulmuş bir göreceli tolerans dahilinde birleşmişse, o zaman var.