Uygunsuz bir integrale nasıl yaklaşabilirim?

13

Bir fonksiyonu olan böyle sonludur ve bu integrali yaklaşık istiyoruz. $f(x,y,z)$
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$

Kareleme kurallarına ve integrallerin monte carlo yaklaşımlarına aşinayım, ancak bunları sonsuz bir alanda uygulamakta bazı zorluklar görüyorum. Monte carlo durumunda, kişi sonsuz bir bölgeyi örneklemeye nasıl devam eder (özellikle integrale daha fazla katkıda bulunan bölgeler bilinmiyorsa)? Kareleme durumunda en uygun noktaları nasıl bulabilirim? Kökeni merkez alan keyfi olarak geniş bir bölgeyi düzeltmeli ve seyrek kareleme kurallarını uygulamalıyım? Bu integrale nasıl yaklaşabilirim?

monte-carlo quadrature

— Paul
kaynak

20

Bir boyutta, ikame yoluyla entegrasyonu kullanarak sonsuz aralığınızı sonlu bir aralıkla eşleyebilirsiniz, örn.

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{u^{- 1} (a)}^{u^{- 1} (b)} f (u (t)) u^{'} (t) d t

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

Burada , sonlu bir aralıkta sonsuza kadar giden bir işlevdir, örneğin : $u(x)$ $\tan(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} f (\tan (t)) \frac{1}{\cos (2 t) + 1} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

Daha sonra değiştirilmiş, sonlu integral için herhangi bir normal sayısal kareleme rutini kullanabilirsiniz.

Birden değişkenler için Değişiklik biraz daha zordur, ama oldukça iyi tarif edilmektedir burada .

— Pedro
kaynak

Bu çok ilginç ... İkame olasılığını hiç düşünmedim! Fakat fonksiyonunun seçiminin , yaklaşıklığın doğruluğu üzerinde herhangi bir etkisi var mı?

u (t)

$u(t)$

— Paul

@ Paul: Evet, kesinlikle! fonksiyonu, olabildiğince pürüzsüz tutacak ve böylece daha doğru bir entegrasyon sağlayacak şekilde mümkün olduğunca pürüzsüz olmalıdır.

u (t)

$u(t)$

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro

Bu doğru, ama aklımda olan şey u (t) 'nin sonsuza yakınlaşma oranı mıydı? Bu aynı zamanda doğruluğu da etkiler mi?

— Paul

1

@ Paul: Sorunuzu doğru anlayıp anlamadığımı bilmiyorum, ancak fonksiyonun bir noktada sonsuzda bitmesi gerekiyor. Zaman alır ve sonra keskin bir şekilde büyürse, bu bazı büyük gradyanları tanıtacaktır , bu da entegrasyonu zorlaştırır ve böylece doğruluğu etkileyebilir.

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro

1

Teğet için türeviniz yanlıştı; Onardım.

— JM

11

Bunu yapmanın standart yolu, ifadesinin üstel bir prefaktör için ifadesini çıkarmak , bunu 'ye dönüştürmek ve daha sonra bununla birlikte Gaussian quadrature kurallarını (veya Gauss Kronrod) bir ağırlık olarak kullanmaktır. Eğer pürüzsüz, bu genellikle mükemmel sonuç verir. $f(x)$ $e^{-x^2}$ $f$

İçinde , ağırlık ile aynı eser ve uygun küpleme formüller Engels, sayısal dördün ve küpleme kitabında, örneğin, bulunabilir. $R^3$ $e^{-|x|^2}$

Çevrimiçi formüller http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/ adresindedir.

— Arnold Neumaier
kaynak

2

Eğer integraliniz kabaca exp ise (-x ^ 2) iyi sonuç verir. Eğer integraliniz yaklaşık olarak normal, ancak başlangıç noktasından uzakta ise, bu yaklaşım kötü sonuç verebilir.

— John D. Cook

1

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

7

Tek boyutlu kareleme için, Quadpack (altın bir ihtiyar ama yine de tek boyutlu kareleme ile çok ilgili) kitabını ve sonsuz aralık için otomatik bir entegratör olan QAGI algoritmasında kullanılan teknikleri kontrol edebilirsiniz.

Başka bir teknik, Ooura tarafından sonsuz bir aralık için güzelce uygulanan çift üstel kareleme formülüdür .

Kübik için, Ronald Cools'un kübik formül Ansiklopedisine danışabilirsiniz .

— GertVdE
kaynak

2

Çifte üstel kareleme özünde bir ikame yöntemidir; Sonsuz aralıklı integralinizi, çürüme hızı, iki kat daha büyük olan başka bir sonsuz aralıklı integrale dönüştüren bir ikame yapıyorsunuz ...

— JM

1

@JM Doğru. IMT dönüşümü ve TANH dönüşümü gibi, yamuk kuralı için Euler-Mclaurin toplama formülünden en iyi şekilde yararlanmak için bunu yaparsınız. Kurucu babalardan biri tarafından yazılan DE tarihi hakkında güzel bir makale burada

— GertVdE

6

$f(x)$ $\tilde f(x)$ $\tilde f$ $f$

$f(x)$ $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ $p(x)$ $f(x)e^{x^2}$ $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$

— Wolfgang Bangerth
kaynak

4

Monte Carlo entegrasyonunu kullanmak istiyorsanız , integralinize kabaca yaklaşan bir örnekleyici ile önemli örneklemeyi kullanarak başlayabilirsiniz . Örnekleyiciniz integralinizle ne kadar iyi eşleşirse, integral tahminlerinizdeki fark o kadar az olur. Örnekleyiciniz aynı alana sahip olduğu sürece alan adınızın sonsuz olması önemli değildir.

— John D. Cook
kaynak