Normal Runge – Kutta yöntemlerinin SDE'lere genelleştirilemeyeceği kolayca anlaşılabilir bir argüman mı?

Stokastik diferansiyel denklemlerin (SDE) çözülmesine naif bir yaklaşım:

düzenli çok adımlı Runge – Kutta yöntemini kullanır,
Altta yatan Wiener sürecinin yeterince ince bir takdir yetkisini kullanmak,
Runge – Kutta yönteminin her adımını Euler – Maruyama'ya benzetir.

Şimdi, bu birden fazla seviyede başarısız oluyor ve nedenini anlıyorum. Ancak şimdi Runge-Kutta yöntemleri ve stokastik diferansiyel denklemler hakkında çok az bilgisi olan insanları bu gerçeğe ikna etmekle görevliyim. Farkında olduğum tüm argümanlar verilen bağlamda iyi iletişim kurabileceğim hiçbir şey değil. Bu nedenle, yukarıdaki yaklaşımın mahkum olduğuna dair kolayca anlaşılabilir bir argüman arıyorum .

runge-kutta education stochastic-ode

— Wrzlprmft
kaynak

@BiswajitBanerjee: Bunun farkındayım ve gerçekten bunu mümkün olan en geniş ölçüde anladığımı iddia etmiyorum. Yine de burada tüm argümanları sunmanın cevabı geliştireceğini düşünmüyorum, çünkü cevap verebilecek olanlar farkında. Bir şey yok açıklarken hakkındadır Dahası, bu durum biraz özel değil ki orada doğal olarak “biz bunu test edilmiş ve başarısız” ile başlayan birçok cevaplar, çalışırlar.

— Wrzlprmft

Stokastik ODE'lerde uzmanlardan değil, "biz" dediğimde rastgele değişkenleri ve RK'yı anlayan ortalama bir okuyucudan bahsetmiştim. Ancak, düşüncenize bir örnek vermek istemezseniz sizi daha fazla rahatsız etmeyeceğim.

— Biswajit Banerjee

Stokastik diferansiyel denklemi alalım:

X_{t} = f (t, X_{t}) d t + g (t, X_{t}) d W_{t}

$X_t = f(t,X_t)dt + g(t,X_t)dW_t$

İşte üst düzey yöntemlerin ardındaki matematiğin neden gerekli olduğunu sezgisel olarak anlamaya yol açan birkaç farklı argüman. Güçlü bir düzen açısından tartışacağım, ki bu da belirli bir Brown hareketi için $W(t)$ , sayısal integral bu yörüngeyi ne kadar iyi çözüyor? "

Denklemin Düzenliliği

Her şeyden önce, önerilen yönteminiz, $X_t$ sürekli olarak ayırt edilemez. Aslında, Rossler'in sonuçlarını, önerdiğiniz gibi normal RK yöntemlerini genişletmenin yakınsak yöntemlerle sonuçlanacağını göstermek için kullanabilirsiniz, ancak yalnızca güçlü sipariş 0.5'e sahip olacaklar. Bunun nedeni, $X_t$ ayırt edilebilir ve Taylor serisine sahip olmak. Brown hareketi farklılaştırılamaz ve bunun yerine Tutucu sürekliliği vardır $\alpha < 0.5$ gibi

Ancak, pertürbasyon teorisinde olduğu gibi, yeterince düzenli olmayan süreçler Taylor serisi açısından genişletilemez, ancak Tutucu düzenliliği ile $\alpha$ Puiseux serileri açısından $\alpha$ yani Brown hareketi için Taylor serisi kavramının bir uzantısı gibi genişleyen bir uzantısı vardır. $\frac{1}{2}$ türevleridir. Normal analizde olduğu gibi, ilk terim "doğrusal terim" dir, yani değişim $dt$ için $\Delta t$ ve $dW_t$ için $N(0,dt)$ ve haklısın. Bu yüzden Euler-Maruyama gibi şeyler de dahil olmak üzere yöntemler güçlü 0.5 sırası ile birleşiyor: Taylor serisindeki ilk terimi doğru alıyorlar. Bununla birlikte, daha yüksek sipariş koşullarının, $X_t$ sürekli olarak ayırt edilemez, bu yüzden normal yöntemler bunu yapamaz.

Anlık Korelasyonlar ve Yinelemeli İntegraller

Bu hızlı bir sezgisel açıklama, ama biraz daha fazlası var. Birkaç ayrıntıya bakalım. Bir Taylor serisi sadece türevler açısından genişleme değil, aynı zamanda entegre edilecek daha yüksek dereceli terimler olarak da düşünülebilir. $X_t = X_0 + \Delta t f(t,X_t)$ bir kez entegre oluyor. Ancak, $dt^2$ terim, birimleri doğru elde etmek için çift katlı integraller yapmanız gerekir. $dt^2$ iki kez entegre edilmesi kolaydır, ancak $dW_t^i dW_t^j$ ? Bunlar Brownian hareketleri arasındaki anlık korelasyonlardır. Çift katlı integrali hesaplamak için bunu bilmeniz gerekir. Yalnızca ortalamalara bakıyorsanız, bunu kaldırabilirsiniz. Ancak herhangi bir yörüngede, diferansiyel denklemler sisteminin farklı Brown hareketleri arasında korelasyonlar vardır. Brown hareketleri arasında korelasyon olmadığı varsayılırsa, deterministik yöntemlerin Maruyama uzantısını karakterize etmenin başka bir yoludur, ancak dizideki bir sonraki terimi (1.0 terimi) elde etmek için bunu doğru yapmanız gerekir. Milstein düzeltmesi tam olarak bu korelasyon terimlerini ekliyor. Gürültü diyagonal olduğunda, bu kendisi dışında bir korelasyon olmadığını anlamakla eşdeğerdir, ancak kendisiyle olan korelasyon sadece varyanstır. $dt$ ve bu yüzden bir düzeltme olmalı $dW_t^2$ vs $dt$ , yani $dW^2 - dt$ . Diyagonal olmayan gürültü olduğunda, bu çift katlı integrallerin yaklaşık olarak değerlendirilmesi gerekir, böylece Brown hareketlerinin anlık korelasyonları dikkate alınır ve buradaki ortak yaklaşım, diyagonal olmayan gürültü simülasyonlarını bu kadar karmaşık hale getiren Wiktorsson yaklaşımıdır. (çünkü çift katlı integrallere bile analitik bir çözüm yoktur).

Difüzyonun Ortalama Etkisi

Ancak bu bizi sorun hakkında başka bir düşünme şekline götürür. Anlar açısından genişlemeyi düşünmek, bazı sezgisel anlamda birinci dereceden terim, güçlü düzen 1.0 veya $\mathcal{O}(\Delta t)$ terim, ortalama hareketleri doğru yapmalı, değil mi? İşte bir soru: türevi nedir $g$ zamanında? En kolay cevap, türevi normal şekilde tanımlamak olacaktır:

ama bu koyarken doğru değil $g$ SDE bağlamında. Eğer türevi hakkında düşünürsek $g$ ne kadar değiştiği açısından $X_t$ , her zaman aynı yöne işaret etmek ortalama değildir, çünkü her zaman bu rastgele faktörle çarpılır $dW_t$ . Soru şudur: bunun ortalama büyüklüğü nedir $dW_t$ ? Difüzyonun ortalama ölçeğinde $\sqrt{\Delta t}$ , yani gerçekte $g(t,X_t)$ daha çok benziyor

\frac{g (t + Δ t, X_{t + Δ t}) - g (t, X_{t})}{\sqrt{Δ t}}

$\frac{g(t+\Delta t,X_{t+\Delta t}) - g(t,X_t)}{\sqrt{\Delta t}}$

Sayısal türevin bununla olması gerektiğini daha titizlikle gösterebilirsiniz. $X_{t + \Delta t} = X_t + g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ "zamanın öngörücüsü" olarak.

Ancak sezgisel olarak, bu sadece ortalama etkiyi anlamaktır. $g$ yörüngesinde $X_t$ : hakkında $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ . Runge-Kutta yönteminde, zaman içinde dahili bir adım $c_i$ değerinin bir tahmini olması gerekiyordu $X_{t + c_i\Delta t}$ , ancak difüzyonla ilgili bu hızlı fiziksel sezgisel argümandan bile, bir Runge-Kutta yönteminin kolay uzantısının ortalama olarak zaten yanlış olduğunu görüyoruz: $g(t,X_t)\sqrt{c_i \Delta t}$ Bu da neden en güçlü 0,5 düzeyinde olduğunu açıklamanın başka bir yoludur (yöntemlerin hala işe yaraması şaşırtıcıdır! Ancak bunu bir RK yöntemindeki aşamaların toplamının 1 olması gerektiğine bağlayabilirsiniz ve bu nedenle bu hata biraz iptal edilir. dışarı). İlginç bir şekilde, bu sezgisel argüman oldukça derinleşiyor, çünkü Rossler gibi yüksek dereceli stokastik Runge-Kutta yöntemlerinin tam olarak ilgili düzeltmeleri var $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ .

Sonuç

Bunlar, yüksek emirlerin neden stokastik hesabı içermesi gerektiğini anlamanın 3 farklı buluşsal yöntemidir. Yüksek siparişler, Tutucu düzenliliğinin 1/2 olduğu gerçeğini dikkate almalı ve bu nedenle Taylor serisinde ekstra terimler olmalı, anlık korelasyonları hesaba katmalı ve en azından difüzyon teriminin ortalama etkilerini dikkate almalıdır . Aksi takdirde doğru olmaya mahkumdurlar. $\mathcal{O}(\Delta t)$ ve bunun yerine yalnızca ilk terimin "doğrusal yaklaşımını" karşılayın ve $\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$ .

Tabii ki, bazı durumlarda daha yüksek sipariş yöntemleri veren uygun genellemeler bulmanın yolları vardır, ancak bunu sarkan bir iplik olarak bırakacağım, çünkü bu yakında göndereceğim bir makalenin bir noktası. Bu yardımcı olur umarım.

— Chris Rackauckas
kaynak