Toplamın özde ayrışması: A (simetrik) + D (diyagonal)

gerçek bir simetrik matris olduğunu ve özdeğer ayrışması verildiğini varsayalım . Toplamın özdeğeri ne olacağını görmek kolaydır nerede (bkz bir sayıl sabittir bu soruyu ). Biz genel durumda herhangi bir sonuç çıkarmayı Can $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$ nin keyfi bir diyagonal matris ? Teşekkürler.

Saygılarımızla,

Ivan

linear-algebra

— Ivan
kaynak

Ne tür sonuçlara ilgi duyduğunuzu belirtirseniz daha iyi yanıtlar alabilirsiniz.

— David Ketcheson

@DavidKetcheson, evet, kesinlikle haklısın. Aslında,

sabit olduğu ve

diyagonal matrisler olduğu formunun bir matris üstel dizisini hesaplamanın etkili bir yolunu bulmaya çalışıyorum . Ben özdeğer ayrışmasını gerçekleştirmek için umuyordum

yalnızca bir kez ve daha sonra çapraz matrisleri tarafından tanıtılan düzeltme hesabına nasılsa kullanabilirsiniz. Ne yazık ki,

genel olarak gidip değildir, bu yüzden

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$ . Bununla ilgili fikirlerinizi paylaşırsanız minnettar olurum. Teşekkürler.

— Ivan

Bu, scicomp.stackexchange.com/questions/503/…

— Geoffrey Irving

Yanıtlar:

Özdeğerlerin girişleri ile sürekli değişmesi gibi genellemeler dışında çok az kişi söylenebilir . $D$

2'ye 2 durumda sembolik hesaplama ile güçlü bir şey beklenemeyeceğini görebilirsiniz.

— Arnold Neumaier
kaynak

Cevabınız için teşekkür ederim, böyle bir şey duyacağımı biliyordum. Lütfen yukarıdaki yorumuma bir göz atmanızı isteyebilir miyim?

— Ivan

bir matrisin üstel hesaplanmasının ve spektral bir çarpanın hesaplanmasının karmaşıklığı yaklaşık olarak aynıdır. Yani hayır, basit bir çözüm yok. Bununla birlikte, diyagonal matrislerinizin alçak bir alt uzayda olması durumunda, alanınızda iyi dağıtılmış bir dizi belirli seçenek için üstel (veya aslında ondan ne hesaplamak istersen) hesaplamak için ne yapabilirsin? seçin ve daha sonra diğerlerine yaklaşık bir enterpolasyon algoritması kullanın.

— Arnold Neumaier

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

D

$D$

Ming Gu ve Stanley C.Eisenstat bu sorunu daha önce incelediler, bağlantıya bakın: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

Bu makale, sorunu burada çözemeyen rütbe bir permütasyon problemini çözmektedir. Herhangi biri rütbe bir permütasyon problemi ile karşılaşırsa, yardımcı olur.

— skyuuka
kaynak

Çapraz bir matris eklemek sıradan bir düzeltme değildir, bu nedenle bu makalenin bu durumda nasıl yardımcı olduğundan emin değilim.

— Christian Clason

@ChristianClason: Doğru! Sadece anlıyorum. Gösterdiğiniz için teşekkürler!

— skyuuka