Otonom olduğunda adi diferansiyel denklem sistemlerinin sayısal olarak tahmin edilmesi için kısayollar var mı?

ODE tanıtıcı işlevlerini çözmek için var olan algoritmalar ,y∈Rn. Ancak birçok fiziksel sistemde, diferansiyel denklem özerktir, bu nedenled$\frac{dy}{dt} = f(y, t)$$y \in \mathbb R^n$,y∈Rn,tsolda değil. Bu basitleştirici varsayımla, mevcut sayısal yöntemlerde ne gibi gelişmeler görülebilir? Örneğin,n=1ise, sorunt=∫dy olarak$\frac{dy}{dt} = f(y)$$y \in \mathbb R^n$$t$$n=1$ ve tek boyutlu integralleri entegre etmek için tamamen farklı bir algoritma sınıfına dönüyoruz. İçinn>1, mümkün olan en yüksek gelişme boyutunun azaltılması olduğuyzamana bağlı durumda ekleyerek simüle edilebilir, çünkü, 1 iletiçiny, alan adının değiştirilmesiydenR, nkadarR, n+1.$t = \int \frac{dy}{f(y)}$$n>1$$y$$t$$y$$y$$\mathbb R^n$$\mathbb R^{n+1}$

Önemli bir gelişme, bir çözüm haritası U kullanarak $y_n \rightarrow y_{n+1}=\mathcal{U}(y_n)$ yaydığınız zaman adımlama yaklaşımları kapsamında , propagandacıyı (veya en azından it) ve ardından her zaman adımında yeniden kullanın.$\mathcal{U}$

Örneğin, doğrusal durumda $\partial_t y = A y$ , burada $A$ bir matristir. Çözelti operatörü $\mathcal{U}(y) = \exp(A \Delta t)y$ temel olarak bir matris üstel içerir. Otonom sistemler için, bu maliyetli matris üstel değerlendirme, tam yayılım için yalnızca bir kez gereklidir - zamana bağlı bir sistemin aksine, bu değerlendirmeyi her zaman adımında yapmanız gerekir.

Doğrusal olmayan sistemler için bu o kadar kolay değildir, ancak algoritmaya bağlı olarak bazı pahalı değerlendirmeler yeniden kullanılabilir.