Yüksek mertebeden Zernike polinomlarının sayısal kararlılığı

Ben (örneğin yüksek sırasını hesaplamak çalışıyorum m=0, n=46bazı görüntü için) Zernike anlar. Ancak, radyal polinom ile ilgili bir sorunla karşılaşıyorum (bkz. Wikipedia ). Bu, [0 1] aralığında tanımlanan bir polinomdur. Aşağıdaki MATLAB koduna bakın

function R = radial_polynomial(m,n,RHO)
    R = 0;
    for k = 0:((n-m)/2)        
        R = R + (-1).^k.*factorial(n-k) ...
            ./ ( factorial(k).*factorial((n+m)./2-k) .* factorial((n-m)./2-k) ) ...
            .*RHO.^(n-2.*k);
    end
end

Bununla birlikte, bu açıkça yakın sayısal sorunlara rastlar RHO > 0.9.

polyvalBazı daha iyi sahne arkası algoritmaları olabileceğini düşünmek için yeniden düzenleme denedim ama bu bir şey çözmedi. Sembolik bir hesaplamaya dönüştürmek istenen grafiği yarattı, ancak gösterildiği gibi basit bir grafik için bile şaşırtıcı derecede yavaştı.

Bu tür yüksek dereceli polinomları değerlendirmek için sayısal olarak kararlı bir yol var mı?

In Bu yazıda , Honarvar ve Paramesran çok güzel bir özyinelemeli şekilde radyal Zernike polinomları hesaplamak için ilginç bir yöntem türetmek. Özyineleme formülü, büyük tamsayılarla bölünme veya çarpma olmadan şaşırtıcı derecede basittir:

Bu, aşağıdaki Octave komut dosyasında uygulanır:

clear                                     % Tested with Octave instead of Matlab
N = 120;
n_r = 1000;
R = cell(N+1,N+1);
rho = [0:n_r]/n_r;
rho_x_2 = 2*[0:n_r]/n_r;

R{0+1,0+1} = ones(1,n_r+1);               % R^0_0  Unfortunately zero based cell indexing is not possible
R{1+1,1+1} = R{0+1,0+1}.*rho;             % R^1_1  ==>  R{...+1,...+1} etc.
for n = 2:N,
    if bitget(n,1) == 0,                  % n is even
        R{0+1,n+1} = -R{0+1,n-2+1}+rho_x_2.*R{1+1,n-1+1};                % R^0_n
        m_lo = 2;
        m_hi = n-2;
    else
        m_lo = 1;
        m_hi = n-1;
    end
    for m = m_lo:2:m_hi,
        R{m+1,n+1} = rho.*(R{m-1+1,n-1+1}+R{m+1+1,n-1+1})-R{m+1,n-2+1};  % R^m_n
    end
    R{n+1,n+1} = rho.*R{n-1+1,n-1+1};                                    % R^n_n
end;


Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);
m = 22;
n = 112;
figure
plot(rho,Z(m,n,rho))
hold on
plot(rho,R{m+1,n+1},'r');
xlabel("rho")
ylabel("R^{22}_{112}(rho)")
legend("via Jacobi","recursive");
%print -djpg plt.jpg

m = 0;
n = 46;
max_diff_m_0_n_46 = norm(Z(m,n,rho)-R{m+1,n+1},inf)

Örneğin, bu kod tarafından üretilen şekil, $m = 22$, ve $n = 112$, yakınlarda felaket iptali olur $\rho = 0.7$, eğer Zernike radyal polinomları Jacobi polinomları ile hesaplanırsa. Bu nedenle, düşük dereceli Zernike polinomlarının doğruluğu konusunda da endişe edilmelidir.

Özyinelemeli yöntem, bu üst düzey Zernike polinomlarını kararlı bir şekilde hesaplamak için çok daha uygun görünmektedir. Yine de,$m = 0$ ve $n = 46$, Jacobi ve özyinelemeli yöntem arasındaki maksimum fark (yalnızca?) 1.4e-10, bu da uygulamanız için yeterince doğru olabilir.

Olası bir çözüm (@gammatester tarafından önerilmektedir) Jacobi polinomlarını kullanmaktır. Bu, 'naif' polinom değerlendirmesi ile büyük polinom katsayılarının eklenmesinde felaket iptali sorununu ortadan kaldırmaktadır.

Radyal Zernike polinomu Jacobi polinomları tarafından aşağıdaki gibi ifade edilebilir ( denklem (6) 'ya bakınız )

Ancak MATLAB'de, 'nin jacobiP(n,a,b,x)büyük vektörleri / matrisleri için kullanımı kabul edilemez derecede yavaştır x=rho. jacobiPFonksiyon aslında Sembolik Toolbox parçasıdır ve polinomun değerlendirilmesi keyfi hassasiyet için hızını esnaf sembolik motoruna ertelenir. Jacobi polinomlarının manuel olarak uygulanması gereklidir.

Jacobi işlevine ait parametrelerin tümü negatif olmadığından ($\alpha=m$, $\beta=0$, $n^*=(n-m/2)$), aşağıdaki ifadeyi kullanabiliriz ( Wikipedia'ya bakın , için değerleri doldurduğuma dikkat edin)$s$)

MATLAB'de bu, (Jacobi p olice d epartment P olynomial, ' D ouble' uygulaması) anlamına gelir.

function P = jacobiPD(n,a,b,x)
    P = 0;
    for  s  0:n
        P = P + ...
            1/(factorial(s)*factorial(n+a-s)*factorial(b+s)*factorial(n-s)) * ...
            ((x-1)/2).^(n-s).*((x+1)/2).^s;
    end
    P = P*factorial(n+a) * factorial(n+b);
end

Gerçek radyal Zernike polinomu ve böylece bir (için m=abs(m))

Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);

Not: Bu kendi kendine cevap sadece pratik bir çözümdür; bunun neden işe yaradığını açıklayan başka bir yanıtta etiketleme yapmaktan çekinmeyin .