LAPACK'in kullanmasının nedeni nedir

9

LAPACK'in QR rutini Q'yu Hanehalkı reflektörleri olarak depolar. Yansıma ile , böylece sonucun ilk öğesi olur , bu yüzden saklanması gerekmez. Ve gerekli ölçek faktörlerini içeren ayrı bir vektörü saklar . Yani bir reflektör matrisi şöyledir: $v$ $1/v_1$ $1$ $\tau$

'H = ben - τ v v^{T},

$H=I-\tau v v^T,$

burada normalleştirilmez. Ders kitaplarında reflektör matrisi $v$

'H = ben - 2 v v^{T},

$H = I-2vv^T,$

nerede $v$ normalize edilir.

Neden LAPACK ölçeği gelmez ile yerine bunu normale? $v$ $1/v_1$

Gerekli depolama alanı aynıdır ( yerine , depolanmalıdır) ve daha sonra ile çarpmaya gerek olmadığından uygulaması daha hızlı yapılabilir ( ders kitabı sürümünde ile çarpım optimize edilebilir, basit normalleştirme yerine , ile ölçeklendirilir ). $\tau$ $v_1$ $H$ $\tau$ $2$ $v$ $\sqrt 2/\|v\|$

(Sorumun nedeni bir QR ve SVD rutini yazıyorum ve bu kararı izlemem gerekip gerekmediğini bilmek istiyorum)

linear-algebra matrix lapack

— Geza
kaynak

7

Bu tasarımı kullanan Hanehalkı-QR'nin engellenmiş varyantı. Golub ve Van Kredisi kitabına bakarsanız (Ch 5.2 ya da öylesine) algoritmanın k-yinelemelerinin, bireysel yansıtıcıları biçimindeki sıra-k yansıtıcısına biriktirerek birlikte nasıl engellenebileceğinden bahsediyorlar. ; burada ve , boyutunda "uzun sıska" matrislerdir . Bu algoritma daha fazla iş yapar, ancak gemm () çağrıları açısından zengin olduğu için pratikte daha hızlıdır. Ne yazık ki ve bağımsız olarak temsil etme ihtiyacı nedeniyle depolamada boşa . $\mathbf I + \mathbf W \mathbf Y^{\mathrm T}$ $\mathbf W$ $\mathbf Y$ $n \times k$ $\mathbf W$ $\mathbf Y$

Daha sonraki bir makalede (aşağıda anılan), Van Kredisi daha verimli bir "simetrik" veri yapısını, biçiminin bir blok reflektörünü açıklamaktadır . Burada hala , ancak oluşturmak için flop / depolama gereksinimi , küçük bir üst üçgen matrisi olan ortadan kaldırılmıştır . ile çarpma ihtiyacı az miktarda fazladan iş , olduğu için genellikle net bir kazanç sağlar . $\mathbf I + \mathbf Y \mathbf T \mathbf Y^{\mathrm T}$ $\mathbf Y$ $n \times k$ $\mathbf W$ $\mathbf T$ $k \times k$ $\mathbf T$ $k << n$

LAPACK içinde, engellenmemiş algoritma gerçekten sadece blok algoritmasının sınırlayıcı bir , sembol seçimine kadar (bu da bizi , $k \rightarrow 1$ $\tau$ $1\times1$ sürümü $\mathbf T$ üçgen).

Atıf: Schreiber, Robert ve Charles Van Loan. "Hanehalkı dönüşüm ürünleri için depolama verimli bir WY temsil." SIAM Bilimsel ve İstatistiksel Hesaplama Dergisi 10.1 (1989): 53-57.

— rchilton1980
kaynak

Cevap için teşekkürler! Görmüyorum, o

τ

$\tau$ sadece bir

1 \times 1

$1 \times 1$ ölçüsünde

T

$\mathbf T$ . Alıntılanan makalede, Algoritma 5'te,

Y

$\mathbf Y$ dır-dir

v

$v$ , ve

T

$\mathbf T$ -2'dir. Bu yüzden LAPACK sürümü olarak değil, ders kitabı sürümü olarak sona erer. Bir şey mi özledim?

— geza

2

Saklamak zorunda değilsin $\tau$ , vektörün geri kalanından yeniden hesaplayabilirsiniz. (Yeniden hesaplayabilirsiniz $v_1$ normalleştirilmiş sürümdeki diğer girişlerden de, ancak bu çıkarımlar nedeniyle açıkça kararsız bir hesaplama.)

Aslında, alt üçgen kısmını tekrar kullanabilirsiniz. $R$ depolamak $v_2,...v_n$ , böylece çarpanlara ayırma işlemi tam olarak yerinde hesaplanır. Lapack, algoritmaların bu yerinde sürümlerine çok önem veriyor.

— Federico Poloni
kaynak

1

Önerim, Intel MKL https://software.intel.com/en-us/mkl-developer-reference-c-geqrf belgelerine dayanmaktadır . Çıkış deposu R'nin diyagonalindeki ve üzerindeki değerlere benziyor, bu nedenle Q için sadece alt üçgen kaldı. Ölçeklendirme faktörleri için ek depolama alanı kullanmak doğal görünüyor.

— VorKir
kaynak