Çok boyutlu integralin bilinen sınırlarla sayısal entegrasyonu

(2 boyutlu) uygun olmayan integralim var

I = \int_{A} \frac{W (x, y)}{F (x, y)} d x d y

$I=\int_A \frac{W(x,y)}{F(x,y)}\,\mbox{d}x\mbox{d}y$

burada entegrasyonu alanı , den daha küçüktür ancak daha da kısıtlanmıştır . Yana ve düzgün ve vardır $A$ $x=[-1,1]$ $y=[-1,1]$ $F(x,y)>0$ $F$ $W$ $W \ne 0$ sınırlarda, sonraki ilişki integralin sınırlarda tekil olabileceğini ima eder. İntegral sonludur. Şimdiye kadar bu integrali iç içe sayısal entegrasyonla hesaplıyorum. Bu başarılı ama yavaş. İntegrali, belki de Monte-Carlo yöntemini ele almak için daha uygun (daha hızlı) bir yöntem ararım. Ancak, kübik olmayan alanın A sınırına puan koymayan ve uygun olmayan integralin sınırını doğru bir şekilde alan bir taneye ihtiyacım var. İntegral dönüşümü bu genel ifadeye yardımcı olabilir mi? Not I çözebilir için bir fonksiyonu olarak ve hatta hesaplamak birkaç özel ağırlık işlevleri için $F(x,y)$ $y$ $x$ $I$ . $W(x,y)$

monte-carlo quadrature

— highsciguy
kaynak

F (x, y) \neq 0

$F(x,y) \ne 0$

A

$A$

F (x, y)

$F(x,y)$

GSL algoritması QAGS: gnu.org/software/gsl/manual/html_node/… . Düzenlemeler için teşekkürler (denklem dizgi seçeneğini görmedim)!

— highsciguy

Yanıtlar:

Feragatname: Uyarlamalı kareleme üzerine doktora tezimi yazdım, bu yüzden bu cevap kendi çalışmam için ciddi şekilde önyargılı olacak.

GSL QAGS, eski QUADPACK entegratörüdür ve özellikle tekilliklerin varlığında tamamen sağlam değildir. Bu genellikle kullanıcıların gerçekten ihtiyaç duyduklarından çok daha fazla basamak basamağı talep etmelerini sağlar ve böylece entegrasyonu oldukça pahalı hale getirir.

GSL kullanıyorsanız, bu makalede açıklanan kendi kodumu ( CQUAD) denemek isteyebilirsiniz . Hem aralık kenarlarında hem de etki alanı içinde tekilliklerle başa çıkmak için tasarlanmıştır. Hata tahmininin oldukça sağlam olduğunu unutmayın, bu nedenle yalnızca gerçekten istediğiniz sayıda basamak isteyin.

Monte-Carlo entegrasyonu ile ilgili olarak, ne tür bir doğruluk aradığınıza bağlıdır. Tekilliklerin yakınında ne kadar iyi çalışacağından da emin değilim.

— Pedro
kaynak

Kesinlikle buna bir göz atacağım çünkü onu uygulamak en basit olacak. Aslında QAGS rutininin bu problem için süper kararlı olmadığını gördüm.

— highsciguy

'GSL_EDIVERGE' oluşumunu etkilemenin bir yolu var mı? Bazı parametreler için görünüyor gibi görünüyor.

— highsciguy

@highsciguy: Algoritma, integralin sonlu olmadığına inandığında GSL_EDIVERGE döndürür. Bana başarısız olduğu bir örnek verebilirseniz, daha yakından inceleyebilirim.

— Pedro

Basit bir rutini izole etmek biraz zordur, çünkü n-dimensinal integraller için genel bir koda gömülüdür. Göreceğim ... Ama sabit y için 1 / sqrt (F (x, y)) x / F (x, y) daha sonra x cinsinden bir polinom olarak yazılabilir. Ancak 1 / sqrt (x) davranışı geç başlayabilir. İntegralin sayısal hassasiyeti de çok iyi olmayabilir.

— highsciguy

@highsciguy: Evet, bu kötü bir fikir. Çoğu quadrature kuralı, integrandın bir dereceye kadar pürüzsüz olduğunu varsayar ve rastgele bir noktadan itibaren sıfıra ayarlarsanız, bir süreksizlik getirersiniz. Gerçek aralığı kullanırsanız çok daha iyi sonuçlar elde edersiniz!

— Pedro

Monte Carlo yöntemleri genel olarak, kareleme noktalarının boyutla birleştirici patlamasını göze alamayacağınız yüksek boyutlu bir integraliniz yoksa adaptif kareleme ile rekabet edemez.

$\int_{[0,1]^n} f(x)\; d^nx$ $n$ $M$ $M^n$ $k$ $N=(kM)^n$ $k$ $(2k-1)$ $e = {\cal O}(h^5)={\cal O}(M^{-(2k-1)})$

e = O (N^{- (2 k - 1) / n}) .

$e = {\cal O}(N^{-(2k-1)/n}).$

e = O (N^{- 1 / 2})

$e = {\cal O}(N^{-1/2})$

k > n / 4 + 1 / 2

$k>n/4+1/2$

$k\le 8$ $n=30$ $M=1$ $N=8^{30}$ entegrasyon noktaları, ömür boyu hiç olmadığı kadar çok değerlendirmek. Diğer bir deyişle, yeterli entegrasyon noktasını değerlendirebildiğiniz sürece, entegrasyon alanınızın alt bölümleri üzerindeki kareleme her zaman daha verimli bir yaklaşımdır. İnsanların daha kötü yakınsama düzenine rağmen Monte Carlo yöntemlerini kullandıkları tek bir alt bölümdeki entegrasyon noktalarını bile değerlendiremediğiniz yüksek boyutlu bir integraliniz olduğu durumlar.

— Wolfgang Bangerth
kaynak

Yuvalanmış bir Çift Üstel Dörtlü deneyin ( Ooura uygulamalarına bakın ). Bu teknik, dönüştürülmüş integralin sınırlarda çok düzgün davranmasını sağlayan ve sınırdaki tekilliklerin ele alınmasında çok verimli olmasını sağlayan değişken bir dönüşüm kullanır. Ayrıca web sitesinde DE kareleme üzerinde çok iyi bir referans listesi var.

— GertVdE
kaynak