ODE'lerin doğrusal sistemi için algoritmalar

Acaba: ı çözmek için en iyi algoritma nedir Burada gerçek matrisidir. A, açıkça zamana bağlı değildir, genellikle seyrek değildir, ancak zorunlu olarak bantlanmış değildir. Özdeğerlerinin pozitif olmayan gerçek kısımları vardır. A da köşegenleştirilebilir ancak tam bir köşegenleştirmenin hesaplama açısından verimli olması için çok büyük olabilir.

\frac{d u}{d t} = A u

$\begin{equation} \frac{du}{dt} = Au \end{equation}$

A

$A$

n \times n

$n\times n$

İyi bir deneyime sahip olduğum örtülü Trapezoidal kural var.

(I - \frac{Δ t}{2} A) u_{n + 1} = (I + \frac{Δ t}{2} A) u_{n}

$\begin{equation} \left(I-\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n+1} = \left(I+\frac{\Delta t}{2} A\right) u_{n} \end{equation}$

Açık yöntemler veya Pade yaklaşımları ne olacak? Ayrıca, RHS'ye bir zorlama terimi eklenirse bu nasıl değişir?

linear-algebra ode

— Gabriel Landi
kaynak

A hakkında gerçekten daha fazla bilgiye ihtiyacımız var. Özdeğerlerin yerine bağlı olarak, kararlılık açık veya örtük yöntemler arasındaki seçimi etkileyen bir sorun olabilir. Ayrıca hangi sırayla istediğinizi ve A'nın zaman içinde değişip değişmediğini / sert bir çözücüye ihtiyacınız olup olmadığı konusunda u ile de önemlidir. Bilgili bir cevap vermek için gerçekten yeterli bilgi yok.

— Godric Seer

@GodricSeer Teşekkürler Godric. ilgili bazı varsayımlar ekledim .

A

$A$

— Gabriel Landi

@GabrielLandi Belirli bir yanıt almak için bundan daha fazla bilgi eklemeniz gerekir. ne kadar büyük ? Mı Normal? Özdeğerleri Are gerçek, hayali ya da karmaşık? Ne kadar büyükler (en büyük ve en küçük büyüklükte)?

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— David Ketcheson

Matrisiniz bağımsız olduğu için sonuç intial vektörün katlanarak katlandığı bir matris olur. Uygun yöntemle ilgili standart tartışma, http://scholar.google.at adresinden '' On dokuz şüpheli yol '' aranarak bulunabilir . $u$

Ölçekleme ve kare alma algoritması (en şüpheli olanı) için ayrıca bkz. Http://blogs.mathworks.com/cleve/2012/07/23/a-balancing-act-for-the-matrix-exponential/

— Arnold Neumaier
kaynak