Stokes denkleminde karışık sonlu elemanlar yöntemi için uyumluluk koşullarını uygulamak

13

$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ Diyelim ki aşağıdaki Stokes akış modeli denklemine sahibiz:

{\begin{aligned} - d i v (ν \nabla u) + \nabla p & = f \\ d i v u & = 0 \end{aligned}

$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$ Burada viskozite

ν (x)

$\nu(x)$ bir işlevdir, standart karışık sonlu eleman için, sabit çifti kullandığımızı varsayalım: Crouzeix-Raviart alanı

_h

V_{h}

$\v{V}_h$ hız için

u

$\v{u}$ ve eleman-bilge sabit uzay Basınç

için

, aşağıdaki varyasyon formuna sahibiz:

S_{h}

$S_h$

p

$p$

L ([u, p], [v, q]) = \int_{Ω} ν \nabla u : \nabla v - \int_{Ω} q d i v u - \int_{Ω} p d i v v = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

ve biliyoruz ki Lagrange çarpanı $p$ bir sabite kadar tespit edilebildiğinden, nihayetinde bir araya getirilen matris boş alana $1$ sahip olmalıdır , bunu atlatmak için belirli bir eleman üzerindeki basıncını $p$ sıfır olarak uygulayabiliriz , böylece tekil bir sistemi çözebilir.

İşte benim sorum 1:

(S1) Standart karışık sonlu elemanlar için çekirdeği ortadan kaldırmak için bazı elemanlarda uygulamaktan başka bir yol var mı $p=0$ ? ya da uyumlu bir çözüm elde etmek için tekil sistemi çözebilen herhangi bir çözücü var mı? (ya da bazı referanslar kabul edilir)

Ve (1) için uyumluluk, yaklaşık olması gerektiği ve güzel küçük bir hile olduğunu hesaplanma olanağı olmak biz çözümü var ağırlıklı ortalamasına göre çıkarılan doğrusal sistem:

\int_{Ω} ν^{- 1} p = 0

$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$

\tilde{p}

$\tilde{p}$

p

$p$

\begin{matrix} (2) & \tilde{p} = p - \frac{ν}{| Ω |} \int_{Ω} ν^{- 1} p \end{matrix}

$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$

Bununla birlikte, yakın zamanda Bochev, Dohrmann ve Gunzberger tarafından Stokes denklemi için stabilize edilmiş bir karışık sonlu eleman uyguladım $P_1-P_0$ ve varyasyon formülasyonuna stabilize bir terim eklediler (1): burada , parçalı sabit alan sürekli parçalı projeksiyon ve orijinal karışık sonlu öğenin sabit çekirdeği gitti, ancak garip şeyler oldu, (2) Artık çalışmıyor, test problemini

\tilde{L} ([u, p], [v, q]) = L ([u, p], [v, q]) - \int_{Ω} (p - Π_{1} p) (q - Π_{1} q) = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

Π_{1}

$\Pi_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$ difüzyon denklemi için bir arayüz problemi , basınç için aldığım şey , sağdaki gerçek çözüm ve soldaki sayısal yaklaşım:

p

$p$

Stokes Testi 1

ancak sabitse, test sorunu gayet iyi performans gösterir: $\nu$ Stokes Testi 2

Tüm sistemin inf-sup kararlılığı ile bağlantılı olduğundan, uyumluluk koşulunu dayatma şeklimden dolayı, ikinci sorum şu:

(S2): basıncı için uygunluğu empoze etmenin (2) dışında bir yolu var mı? veya test problemini oluştururken ne tür bir kullanmalıyım? $p$ $p$

finite-element

— Shuhao Cao
kaynak

MathML çalışmıyor mu?

— Shuhao Cao

StackExchange üzerinde MathJaX kullanıyoruz, yayınladığınız her şey güzel görünüyor, ayrıntılı soru için teşekkürler.

— Aron Ahmadia

8

Uyumluluk koşulu basınçla değil hızla ilgilidir. Bu eğer belirtiyor yalnızca hız için Dirichlet sınır koşullara sahip, daha sonra bu sapma içermeyen kısıtlaması, yani uyumlu olmalıdır ile sınırı hesaplama alanı (hücre değil). $\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$ $\partial \Omega$

Bu durumda , ile isteğe bağlı bir sabitle ayırt edilemez, çünkü sabiti düzeltmek için üzerinde sınır koşulu yoktur . Bu nedenle basınç için sonsuz sayıda çözüm vardır ve çözümleri karşılaştırmak için bir sözleşmeye ihtiyaç vardır. Matematikçiler seçme tercih şekilde fizikçi tercih ederken (bunlar entegre için) (bir ölçülmesi nedeniyle nokta). Eğer senin ayrık eşdeğerdir , bu ima $\nabla p$ $\nabla (p + c)$ $c$ $p$ $c$ $\overline{p}=p_\mathrm{ref}$ $p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$ $Bp$ $\nabla p$ $B$ kimlik vektörünü içeren boş bir boşluğa sahiptir.

Krylov altuzay yöntemleri, çözümü aradıkları Krylov altuzayındaki boş alanı kaldırarak tekil bir sistemi çözebilir. Bununla birlikte, bu, belirli bir kurala uyan çözümü alacağınız anlamına gelmez , her zaman bir postprocessing adımında sabiti kendiniz belirlemeniz gerekir, hiçbir çözücü bunu sizin için yapamaz. $p$

Sorununuzu çözmek için bazı öneriler:

Denklem (2) garip görünüyor. Eğer bir fonksiyonudur nasıl integrali dışında olabilir? $\nu$ $x$
Hız alanınız uyumluluk kısıtlamasını karşılıyor mu?
Baskı için hiçbir şey yapmamaya çalışın, çözücünün bir izin verin , sonra . Sabit midir? $p$ $p-p_\mathrm{exact}$
Değilse, sıfır boşluğunun gerçekten kimlik vektörü olduğundan ve başka bir şey olmadığından emin misiniz ? Hem kağıtta hem de kodda? Sorun aslında boş alanı hesaplayacak kadar küçük görünüyor. $B$

— chris
kaynak

2

(Q1) 'e gelince, sisteminiz için en küçük kareler çözümünü hesaplayan sele noktası sorunları için bir çözücü seçebilirsiniz. Daha sonra çarpan üzerine, belirli bir serbestlik derecesi ayarlamak gibi, belirli bir ortalama dayatan ek bir koşul uygulanabilir.

Genel olarak ve bence bu cevaplar (1. Çeyrek), farklı sabitleri ayırt edebilen doğrusal bir kısıtlama kullanabilirsiniz.

Bu kısıtlama, bir işlem sonrası adımda veya deneme alanının uygun bir seçimiyle (örneğin, bir derece serbestlik bırakırsanız) uygulanabilir.

— shuhalo
kaynak