Matematiksel olarak, kütle matrisi / yük vektörü topaklanma neden çalışır?

İnsanların genellikle tutarlı kütle matrislerini topaklı diyagonal matrislerle değiştirdiğini biliyorum. Geçmişte, yük vektörünün FEM tutarlı bir şekilde değil, topaklı bir şekilde birleştirildiği bir kod da uyguladım. Ama neden ilk etapta bunu yapmamıza izin verildiğine hiç bakmadım.

Topaklamanın ardındaki kütle ve yük vektörlerine uygulanmasına izin veren sezgi nedir? Bunun matematiksel gerekçesi nedir? Hangi durumlarda topaklanmaya kütle ve yük vektörleri için iyi bir yaklaşım / izin verilmez?

Sonlu elemanlar yönteminde, matris girişleri ve sağ taraftaki girişler integral olarak tanımlanır. Genel olarak bunları tam olarak hesaplayamıyor ve kareleme uygulayamıyoruz. Ancak, bir kişinin seçebileceği birçok dörtlü formül vardır ve biri genellikle bunları bir şekilde seçer, böylece (i) dördüncülüğün getirdiği hata, takdir yetkisi ile aynı düzendedir veya en azından önemli ölçüde daha kötü değildir ve (ii) matrisin uygun olduğu ortaya çıkan bazı özellikleri vardır.

Kütle topaklanması bu çalışmanın bir örneğidir: Eğer biri belirli bir kareleme formülü seçerse (yani, sonlu elemanın enterpolasyon noktalarında bulunan kareleme noktalarına sahip olan), sonuçta ortaya çıkan kütle matrisi diyagonal olur. Hesaplamalı uygulama ve insanların bu kareleme formüllerini kullanma nedenleri için oldukça uygun. Aynı zamanda "çalışmasının" nedeni de budur: Bu özel kareleme formülü seçimi hala oldukça yüksek bir düzene sahiptir.

Diyagonal matrislerin sayısal hesaplamaları hızlandırma konusunda bariz avantajları vardır ve Wolfgang Bangerth'in cevabı diyagonal bir kütle matrisinin nasıl hesaplanacağının iyi bir açıklamasıdır , ancak OP'nin "neden bu işe yarıyor " sorusunu "neden " "Modellemekte olduğunuz fiziğe iyi bir yaklaşım".

Kavramsal olarak, bir elemanın tepkisini üç parçaya ayırabilirsiniz: katı bir cismin translasyonel hareketi, kütle merkezi merkezi etrafında katı rotasyon ve elemanın deformasyonu.

$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

Bu nedenle, hareketin rijit gövde kısımlarına, yani 6 DOF'a gerçekten "iyi" bir yaklaşıma ihtiyacınız vardır ve aslında, sadece rijit cisim çevirisinden , yani 3 DOF'ye, sadece KE'ye, eleman boyutu azaltmıştır.

Element matrisinin diyagonal terimleri, bu 3 veya 6 KE terimlerini yeterli doğrulukla temsil etmek için fazlasıyla bağımsız parametreler içerir. Aslında, daha yüksek mertebeden elemanlar için, orta taraf düğümleri için çapraz terimlerin sıfır olduğu kütle çapraz kütle matrislerini kullanabilirsiniz.

Bunun, sert cisim translasyonu ve rotasyonundan gelen katkıların sıfır olduğu element potansiyel enerjisinden tamamen farklı bir durum olduğunu ve önemli olan tek şeyin element deformasyonuna karşılık gelen gerilme enerjisini temsil ettiğini unutmayın . Bir diyagonal sertlik matrisi nedenle olurdu değil uygulanabilir bir fikir!

Diğer cevaplara ek olarak, kütle matrisindeki hataların istenen sonuç üzerinde hiçbir etkisinin olmadığı senaryolar vardır.

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1 Dinamik fiziksel davranış hakkında muhakeme "doğru" bir kütle matrisi ile elbette daha kolay olsa da - örneğin, açısal momentum topaklı kütle matrisleri tarafından yanlış korunabilir.}