Boş bir alanı kaldırmak için bir noktayı sabitlemek neden kötü?

Tüm Neumann sınır koşullarıyla bir Poisson denkleminin tek bir sabit boyutlu boş alanı vardır. Bir Krylov yöntemi ile çözülürken, boş alan, her bir yinelemede çözeltinin ortalamasını çıkararak veya tek bir tepe noktasının değerini sabitleyerek çıkarılabilir.

Tek bir tepe noktasını sabitlemek basitlik avantajına sahiptir ve ayrıca projeksiyon başına ekstra küresel bir azalmayı önler. Bununla birlikte, koşullandırma üzerindeki etkisi nedeniyle tipik olarak kötü olarak görülür. Bu nedenle, her zaman araç çıkardım.

Bununla birlikte, iki yöntem birbirinden en fazla rütbe 2 düzeltmesi ile farklılık gösterir, bu nedenle (1) 'e göre neredeyse aynı sayıda yinelemede birleşmelidirler (en azından tam aritmetik olarak). Bu mantık doğru mu, yoksa nokta sabitlemenin kötü olmasının ek bir nedeni var mı (belki de aritmetik değil)?

(1): Düşük rütbe modifikasyonları Krylov yönteminin yakınsamasını nasıl etkiler?

Argümanlarınız doğal olarak koşulsuz dava için geçerlidir. Sabitlemeyi önermememin nedeni, normları ve ön koşullandırmayı karıştırmasıdır. Tipik bir diyagonal değerin boyutunu biliyorsanız, normların tekrar makul hale gelmesi için sabitlenmiş düğüm için önemsiz denklemi ölçekleyebilirsiniz.

Ön koşullandırmanın sonuçlarını görmek için, sabitlemeyi uygulamak için farklı yöntemler arasında ayrım yapmak zorundayız. En popüler iki tanesini düşünüyorum.

1. Sabitleme "bir sırayı sıfırlamak" (kimliğin ölçeklenmiş bir sırasına eşit bir satır ayarlamak) ile elde edilirse, Krylov yöntemi seçimini kısıtlayan ve önkoşulları karıştırabilen (örn. Cebirsel multigridin zayıf bir agrega seçmesini sağlayın) asimetri sağlar.
2. İlgili sütun da sıfırlanırsa (sağ tarafa "kaldırılmış" katkı ile), etki oldukça iyi huyludur.

Multigrid için enterpolasyon operatörlerinin, sabitlemeyi her seviyede uyumlu bir şekilde yapmak için ayarlanması gerekebileceğini unutmayın. Sabitlemeyi iyi bir ölçeklendirme ile uygulayarak ortaya çıkan karmaşıklığı önemsemiyorsanız, bu iyi bir yaklaşımdır. Çoğu durumda, sabitlemeyi neredeyse sıfır alan sağlamaktan ziyade kesintiye uğramayan bir şekilde uygulamanın daha müdahaleci ve hataya açık olduğunu görüyoruz. Orijinal (tekil) matrisi çevreleyerek, çözücü kitaplığı sağlanan boş alanın gerçekten boş bir alan olduğunu da doğrulayabilir ve böylece ortak bir hataya karşı koruma sağlayabilir.