Hiperbolik PDE'ler için birçok sayısal yöntem Riemann çözücülerinin kullanımına dayanmaktadır. Bu tür çözücüler şok dalgalarını doğru bir şekilde yakalamak için gereklidir. En iyi çalışılan sistemler (örneğin, kesin çözücüler, Kara çözücüler, HLL çözücüler) için bir dizi çözücü mevcuttur. Hangisinin kullanılacağına nasıl karar vermeliyim?
Yanıtlar:
Hiperbolik PDE'lerin sayısal çözümü için Riemann çözücülerinin kullanımı, şokları olabilen dalga problemlerinin (korunmuş değişkenlerde süreksiz sıçramalar) doğru simülasyonu için konservatif şok yakalama yöntemlerinin temel bileşenleridir. Bu tür sorunlara doğru çözümler elde edebilmek için uygun yukarı sarma tekniklerini kullanmamız gerekir - Riemann çözücü bundan sorumludur. Riemann çözücü, hücreler (Sonlu Hacimlerde fx.) Veya elemanlar (fx. Süreksiz Galerkin Sonlu Eleman Yöntemlerinde fx.) Arasındaki arayüz problemine doğru bir çözüm arar. Bu arayüz sorununun çözümü, arayüzün her iki tarafının çözümüne dayanır ve bunu arayüz boyunca (sayısal) akının (korunmuş değişkenler açısından) doğru yeniden yapılandırılması için temel olarak kullanmayı amaçlar.
Bu (arayüzde lokal) Riemann problemlerinin çözümü için iki standart yaklaşım vardır, yani kesin ve yaklaşık Riemann çözücüleri. Birçok PDE için kesin bir kapalı form çözümü yoktur, bu durumda yaklaşık Riemann çözücülerine başvurmak zorundayız. Uygulamada, Riemann problemlerini tam olarak çözmek de (çok) pahalı olabilir, bu durumda yaklaşık Riemann çözücülerine başvurmak daha pratik olabilir. Aynı nedenden ötürü, Lax-Freidrichs tipi akışlar basit bir araç olarak yaygın olarak kullanılmaktadır.
Esasen, Riemann çözücüleri arasındaki seçim, çözümün dalga hızlarını ve sonuçta ortaya çıkan verimliliği ne kadar doğru bir şekilde almaya çalıştığıyla ilgilidir.
Probleme bağımlıdır. Riemann problemi hücre arayüzlerinin her iki tarafındaki verilere dayanmaktadır. Arayüzdeki akıyı bu verilere dayanarak yeniden oluşturmak için söz konusu hiperbolik PDE'nin tam dalga yapısı hakkında bilgi sahibi olmalıyız. Bu, Riemann problemini probleme bağımlı hale getirir ve bu nedenle Riemann çözücü seçimini de yapar. Kısacası, kesin çözücüler tam dalga yapısını hesaba katmaya çalışır, Karaca çözücü yerel dalga yapısının yerel yaklaşımına (doğrusallaştırma ve özel ortalama ile) dayanır, HLL çözücü yerelde iki baskın dalga hızını tahmin etmeye dayanır daha sonra şoklar veya temas süreksizlikleri arasında tutmak için Rankine-Hugoniot koşulunu sağlayarak koruma uygulayın.
Bu nedenle, spesifik çözücüler, kesin çözücüler veya yaklaşık Roe / HLL / vb çözücüler arasındaki seçim, doğruluk (model denklemlerin altında yatan fiziği taklit etmede) ve verimlilik ihtiyaçları arasında bir denge kurmaya bağlıdır. Sonunda - gördüğüm gibi - pratik uygulamada, yaklaşık Riemann çözücülerinin (Lax-Friedrichs tipi fx.) Kullanımını belirleyen verimlilik gereklilikleridir.
EF Toro tarafından "Riemann çözücüleri ve akışkanlar dinamiği için sayısal yöntemler" ders kitabında konuyla ilgili iyi bir açıklama yapılmıştır.
Ben düşük sıralı sayısallar için yüksek kaliteli Riemann çözücülere ihtiyaç duyduğuna ve yüksek sıralı sayısallar için düşük kaliteli Riemann çözücüler kullanabileceğine inanıyorum. Sezgisel olarak, altına yerleştirilen fiziği yakalamak için gerekli olan bazı FLOP'lar vardır.
Ve evet, bu cevapta değerlendirme metriği açısından da sıfır içerik var ...