Hiperbolik PDE'lerin entegrasyonunda örtük yöntemler ne zaman kullanılmalıdır?

PDE'leri (veya ODE'leri) çözmek için sayısal yöntemler iki geniş kategoriye ayrılır: açık ve kapalı yöntemler. Örtük yöntemler, daha kararlı zaman sinyallerine izin verir, ancak adım başına daha fazla çalışma gerektirir. Hiperbolik PDE'ler için ortak akıl, örtük yöntemlerin genellikle işe yaramadığıdır çünkü CFL koşulu tarafından izin verilenlerden daha büyük zaman aralıklarının kullanımı çok yanlış sonuçlara yol açar. Bununla birlikte, bazı durumlarda örtük yöntemler kullanılmaktadır. Belirli bir uygulama için, açık veya örtük bir yöntem kullanıp kullanılmayacağı nasıl seçilmelidir?

Temel soru, hangi fiziksel süreçlerin (dalgalar veya kaynak terimler) çözümlemekle ilgilendiğiniz ve hangi adımlara atmayı tercih edeceğinizdir. Sistemdeki en hızlı zaman ölçeği ile ilgilenmiyorsanız, denklemlere "sert" denir. Hiperbolik koruma yasaları genellikle birinci dereceden sistemler olarak yazılır

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

burada korunmuş değişkenler içerir, akıdır ve "kaynak terim" olarak adlandırılır. Bu terminoloji ile, akışının türev içermediğine dikkat ediniz, bu nedenle yayıcı ve dağıtıcı terimler cinsinden gitmelidir . Kaynak terimleri sert olduğunda, birçok kimyasal reaksiyon probleminde olduğu gibi ve difüzyon veya dispersiyon olduğunda örtülü veya yarı-örtülü entegrasyonun kullanılması oldukça yaygındır. Kimyasal reaksiyon genellikle komşu hücrelere bağlı olmadığı için her bir elementte yerel olarak dolaylı olarak çözülebilir.F G F $u$$F$$G$$F$$G$

Dalga hızlarını hesaplamak için, akışkanın öz değerlerini Jacobian inceliyoruz . Belirli dalgaların evresinin fiziksel olarak ilgi çekici olmadığına karar verirsek , o zaman onlara adım atmak isteyebiliriz.$A = [\partial F/\partial u]$

Örneğin, bir okyanusun uzun süreli evrimini simüle ediyorsanız, yüzey yerçekimi dalgalarıyla (örneğin tsunamiler) ilgilenmeyebilirsiniz. Ne yazık ki, dalga hızını değiştirmek (açık yöntemler kullanmak için yavaşlatmak veya projeksiyon kullanabilen bir "sert kapak" modeline hızlandırmak) girdapların yayılma şeklini değiştirerek fiziği değiştirir. Okyanustaki girdaplar, yerçekimi dalgasının konveksiyonla neredeyse dengelendiği, ancak tam olarak olmadığı bir etkidir.

Başka bir örnek sıkıştırılabilir Euler, örneğin bir veri merkezinden hava akışıdır. Akustik dalga hızı konveksiyondan çok daha hızlıdır ve ısı transferi için sadece ikincisi önemlidir. Akustiğe ilgi duymuyorsanız, örtük bir yöntem kullanmak isteyebilirsiniz.

Örtük bir yöntemin nispi etkinliği, açık yöntemlerle kullanılabilen adım boyutuna kıyasla her bir adım / aşamada cebirsel sistemleri çözme maliyetine bağlıdır. Bu tür cebirsel sistemleri verimli bir şekilde çözmek aktif bir araştırma konusudur. (Başka bir soru sorun, ben cevaplayacağım ve referans alacağım.)

Aşağıdaki durumlarda örtük yöntemler de kullanmak isteyebilirsiniz:

• denklemleriniz, belki de kararlılığı karakterize etmek için, doğrudan keşfetmek istediğiniz anlamlı kararlı durumlara sahiptir
• uzun zaman geçmişini içeren ters / veri asimilasyon problemlerini çözüyorsunuz
• belirli kararlılık özelliklerine sahip çok yüksek sipariş zamanı entegrasyon yöntemlerini kullanmak için sipariş engellerini atlatmak istiyorsunuz
• uzay-zaman uyarlamalı yöntemler kullanıyorsunuz
• bir cebirsel sistemi çözmeyi gerektiren bir uzamsal ayrıklaştırma kullanıyorsunuz (örneğin, tutarlı kütle matrisi ile sürekli sonlu elemanlar yöntemleri)