'sıfır' ile olası bölünme ile sayısal entegrasyon

Entegre olmaya çalışıyorum

$$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$$

ki bu basit bir dönüşüm

$$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$$

kullanma $t = \frac1{x}$çünkü uygun olmayan integrallerin sayısal olarak tahmin edilmesi zordur. Ancak bu yeni integrali sıfıra yakın değerlendirme problemine yol açar. Aralık sadece uzunluk 1 olduğu için uygun sayıda kareleme düğümü elde etmek çok kolay olacaktır (böylece karşılaştırılabilir$dt$ çok küçük yapılabilir), ancak sıfıra yakın entegrasyon yaparken ne tür düşünceler yapmalıyım?

Bir düzeyde, bence $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ iyi bir fikir $\epsilon$küçük bir sayıdır. Ancak, hangi numarayı seçmeliyim? Makine epsilon mu olmalı? Makine epsilonuna bölünme iyi ölçülmüş bir sayı mıdır? Ayrıca, makine epsilon'umun (veya ona yakın) bölünmesi inanılmaz derecede büyük bir sayı verirse,$\exp(\frac{1}{\epsilon})$ daha da büyüyecek.

Bunu nasıl açıklamalıyım? Bu işlevin iyi tanımlanmış bir sayısal integraline sahip olmanın bir yolu var mı? Değilse, işlevi entegre etmenin en iyi yolu nedir?

Bu parçalarla entegrasyon ile yapılabilir:

$$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$$ ve tümevarım yoluyla devam ediyor $$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$$ Böylece $$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$$ ve $I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$.

QUADPACK'e bir göz atın . Sonsuz alanlara (yarı) entegrasyon için rutinleri vardır.