Mühendisler genellikle, PDE'lerin çözümü için sonlu hacim, koruyucu sonlu fark veya süreksiz Galerkin yöntemleri gibi yerel olarak koruyucu yöntemler kullanmakta ısrar ediyorlar.
Yerel olarak muhafazakar olmayan bir yöntem kullanırken ne yanlış gidebilir?
Tamam, yerel koruma hiperbolik PDE'ler için önemlidir, peki ya eliptik PDE'ler?
Yanıtlar:
Doğrusal olmayan hiperbolik PDE'lerin çözümünde, başlangıç koşulu sorunsuz olsa bile süreksizlik ("şoklar") ortaya çıkar. Süreksizliklerin varlığında, çözüm kavramı sadece zayıf anlamda tanımlanabilir. Bir şokun sayısal hızı, uygulanan entegral koruma yasasını yerel olarak sayısal olarak yerine getirmeye dayanan, uygulanan Rankine-Hugoniot koşullarına bağlıdır. Lax- Wendroff teoremi bir yakınsak sayısal yöntem hiperbolik koruma yasasının zayıf çözüme yaklaşmak olacağını garanti yöntem muhafazakar olması halinde.
Sadece muhafazakar bir yöntem kullanmakla kalmaz, aslında doğru miktarları koruyan bir yöntem kullanmanız gerekir . Bunu LeVeque'in "Hiperbolik Problemler için Sonlu Hacim Metotları", Bölüm 11.12 ve Bölüm 12.9'da açıklayan güzel bir örnek var. Burger denklemini ayrıklaştırırsanız
tutarlı takdir yoluyla
Şebekenin ne kadar hassaslaştırıldığına bakılmaksızın, şokların yanlış hızda hareket ettiğini göreceksiniz. Yani, sayısal çözüm gerçek çözüme yakınlaşmayacak . Bunun yerine muhafazakar takdir yetkisi kullanırsanız
akı farklılığına bağlı olarak, şoklar doğru hızda hareket edecektir (bu denklem için şokun sağında ve solunda durumların ortalamasıdır). Bu örnek yazdığım bu IPython not defterinde gösterilmiştir .
Doğrusal hiperbolik PDE'ler ve tipik olarak pürüzsüz çözeltileri olan diğer PDE tipleri için, yerel koruma, yakınsama için gerekli bir bileşen değildir. Ancak, başka nedenlerden dolayı önemli olabilir (örneğin, toplam kütle bir miktar ilgi ise).
Bence sorunuza bir cevap, belirli toplulukların her zaman sadece muhafazakar planları kullandığı ve bu yüzden de “bu şekilde yapıldığı” bir parçası haline geldiğidir. Bunu yapmanın en iyi yolunun olup olmadığı tartışılabilir, ancak İngilizlerden sağa sürülmesini istemek kadar verimli çünkü sadece standart tarafa sahip olmak daha kolay olurdu.
Bu, yararlı olduğu durumlarda görüyorum dedi. Örneğin, iki fazlı gözenekli ortam akışını düşünün. Bu sorun genellikle şu şekilde ortaya çıkar: Burada, problemin bir kısmı, ilk olarak iki denklemi oluşturan karma Laplace'i çözmektir, geleneksel olarak Raviart-Thomas elemanlarını kullanarak. Genellikle “kitlesel muhafazanın sağlanmasının önemi” nedeniyle seçilirler ve bir anlamda şunu anlayabilirim: eğer kitlesel muhafazakar olmayan bir hız alanıyla sonuçlanırsanız, genel olarak korunmayan bir doygunluk denklemi elde edersiniz. taşınan sıvının kütlesi. Tabii ki, bunun olacağını söyleyebiliriz
Çoğu zaman, çözülecek denklemler fiziksel koruma yasasını temsil eder. Örneğin, akışkan dinamiği için Euler denklemleri kütle, momentum ve enerjinin korunumunu temsil eder. Modellemekte olduğumuz temel gerçeğin muhafazakar olduğu göz önüne alındığında, aynı zamanda muhafazakar olan yöntemleri seçmek avantajlıdır.
Elektromanyetik alanlarla benzer bir şey de görebilirsiniz. Maxwell yasaları, manyetik alan için diverjansız durumu içerir, ancak bu denklem her zaman alanların evrimi için kullanılmaz. Bu durumu koruyan bir yöntem (örneğin: sınırlı taşıma) gerçeğin fiziğine uymaya yardımcı olur.
Düzenleme: @hardmath, sorunun "neyin yanlış gidebileceğini" bölümünü ele almayı unuttuğumu belirtti (Teşekkürler!). Soru özellikle mühendislere atıfta bulunur, ancak kendi alanımdan (astrofizik) bir kaç örnek sunacağım ve bir mühendislik uygulamasında neyin yanlış gidebileceğini genelleştirmek için yeterli olan fikirleri açıklamaya yardımcı olacaklarını umuyorum.
(1) Bir süpernova simülasyonu yaparken, bir nükleer reaksiyon ağına (ve diğer fiziğe bağlı akışkan dinamikleri vardır), ancak bunu görmezden geleceğiz). Nükleer reaksiyonların çoğu, (birinci dereceden bir yaklaşımla) enerjinin bir ölçüsü olan sıcaklığa bağlıdır. Enerjiyi korumayı başaramazsanız, sıcaklığınız çok yüksek olacaktır (bu durumda reaksiyonlarınız çok hızlı çalışır ve çok daha fazla enerji verir ve mevcut olmayan bir kaçak elde edersiniz) veya çok düşük (bu durumda reaksiyonlarınız çok yavaş koş ve süpernovaya güç veremezsin).
(2) İkili yıldızları simüle ederken, açısal momentumun korunumu için momentum denklemini yeniden yapmanız gerekir. Eğer açısal momentumu koruyamazsanız, yıldızlarınız birbirlerini doğru yörüngeye çeviremezler. Ekstra açısal momentum kazanırlarsa, birbirleriyle ayrılır ve etkileşimi keser. Eğer açısal momentum kaybederse, birbirleriyle çarpışırlar. Yıldız diskleri simüle ederken benzer sorunlar ortaya çıkar. (Doğrusal) momentumun korunması arzu edilir, çünkü fizik yasaları doğrusal momentumu korur, ancak bazen doğrusal momentumu terk etmeniz ve açısal momentumu korumanız gerekir, çünkü bu eldeki sorun için daha önemlidir.
İtiraf etmeliyim ki, manyetik alanların diverjansız durumunu göstermesine rağmen, orada o kadar bilgili değilim. Diverjansız durumun korunamaması, manyetik monopoller üretebilir (şu anda kanıtımız yoktur), ancak simülasyonda neden olabilecek sorunların iyi örneklerine sahip değilim.
Bugün bir tezle karşılaşıyorum Navier-Stokes Simülasyonları için EMAC Programı ve Blöf Kuruluşlarının Geçmişine Akış Uygulaması ve bunun 1.2. Bölümünün OP'nin sorusuna en azından kısmen cevap verdiğine dikkat edin. İlgili parçalar:
Hesaplamalı akışkanlar dinamiği ( CFD ) topluluğuna, fizibinin ayrıklaştırma içine ne kadar fazla fizik kazandırıldığına, ayrık çözümlerin özellikle daha uzun zaman aralıklarında daha kesin ve kararlı olduğuna inanılmaktadır . 1959'da N. Phillips [42] , barotropik lineer olmayan vortisite denklemi (sonlu farklar şeması kullanarak) için bir örnek oluşturuyordu; İçinde [4] Arakawa, kinetik enerji ve enstrofi (2B) bir ayrıklaştırma şeması tarafından korunursa, uzun zaman boyunca entegrasyonla ilgili dengesizlik sorunlarından kaçınabileceğini gösterdi. …. 2004 yılında, Liu ve Wang, üç boyutlu akışlar için helisite ve enerjiyi koruyan gelişti. Olarak [35] , bunlar eksenel simetrik akışları için bir enerji ve helisite koruyucu düzeni mevcut. Ayrıca, çift koruma düzeninin büyük fiziksel olmayan sayısal viskozite ihtiyacını ortadan kaldırdığını da gösteriyorlar. ...
… CFD'de on yıllardır, fiziksel niceliklerin sonlu elemanlar düzeni ile ne kadar fazla korunduğu, tahminin, özellikle uzun zaman aralıklarında daha doğru olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, daha fiziksel olarak doğru bir şema tarafından sağlanan çözümler de daha fiziksel olarak ilgilidir. Eğer biri tamamen çözülmüş bir ağa ve sonsuz küçük bir zaman aşamasına sahip olabilirse, yaygın olarak kullanılan tüm sonlu elemanlar şemalarının aynı sayısal çözümleri sağladığına inanılmaktadır. Bununla birlikte, pratikte kişi, özellikle zamana bağlı problemler için, 3B simülasyonlarda tamamen çözülmüş bir ağ göze alamaz. Örneğin, 2. bölümde, her zaman adımının 4 milyon bilinmeyenli seyrek bir lineer sistemin çözülmesini gerektirdiği 50-60 bin zaman adımına ihtiyacımız var. Bu işlem, her biri 24 çekirdekli 5 düğümde son derece paralel kod içeren 2-3 haftalık işlem süresi gerektiriyordu.