Hangi yöntemler bir PDE simülasyonu boyunca fiziksel miktarların pozitif kalmasını sağlayabilir?

Basınç, yoğunluk, enerji, sıcaklık ve konsantrasyon gibi fiziksel miktarlar her zaman pozitif olmalıdır, ancak sayısal yöntemler bazen çözüm işlemi sırasında negatif değerleri hesaplar. Bu doğru değil çünkü denklemler karmaşık veya sonsuz değerleri hesaplayacaktır (genellikle kodu kilitler). Bu miktarların pozitif kalmasını sağlamak için hangi sayısal yöntemler kullanılabilir? Bu yöntemlerden hangisi en verimli?

En yaygın yöntem negatif değerleri küçük, pozitif bir sayıya sıfırlamaktır. Tabii ki, bu matematiksel olarak sağlam bir çözüm değil. Çalışabilen ve kolay olan daha iyi bir genel yaklaşım, zaman adımınızın boyutunu azaltmaktır.

Negatif değerler genellikle hiperbolik PDE'lerin çözeltisinde ortaya çıkar, çünkü şokların ortaya çıkması salınımlara yol açabilir, bu da şokun yakınında vakuma yakın durumlar varsa negatif değerler yaratma eğilimi gösterir. Bir kullanma toplam varyasyon azalmasını (TVD) ya da diğer titreşimli olmayan ( ENO, weno ) yöntemini bu eğilimi azaltabilir. Bu yöntemler, çözeltinin türevlerini hesaplamak için doğrusal olmayan sınırlayıcıların kullanılmasına dayanır. Bununla birlikte, birkaç nedenden dolayı yine de negatif değerler alabilirsiniz:

• Çizgiler yöntemini kullanır ve yüksek dereceli bir zaman entegratörü uygularsanız. Çoğu TVD şeması muhtemelen sadece yarı ayrık anlamda veya Euler yöntemiyle TVD'dir. Daha yüksek sipariş süresi entegrasyonu için, güçlü bir kararlılık koruyan (SSP) zaman ayrıklığı kullanmalısınız; bu şemalar "büzülme" veya "tekdüzeliğin korunması" olarak da bilinir. Konuyla ilgili yeni bir kitap Sigal Gottlieb, Chi-Wang Shu ve ben var.
• Denklem sistemleri için yerel karakteristik ayrışma kullanmazsanız , çözümünüz TVD olmayacaktır (TVD şemaları sadece skaler problemler için bu özelliğe sahiptir). Bu yüzden karakteristik değişkenlerde yeniden yapılandırmak / enterpolasyon yapmak en iyisidir.
• Doğrusal olmayan bir sisteminiz varsa, yerel karakteristik bozunma kullansanız bile negatif değerler ortaya çıkabilir. Örneğin, sığ su denklemleri veya Euler denklemleri için herhangi bir doğrusallaştırılmış Riemann çözücüsünün (örneğin bir Karaca çözücü) yeterince zorlu koşullarda negatif değerler ürettiği gösterilebilir. Bir çözüm bir HLL çözücü (veya bir HLL varyantı) kullanmaktır; bunlardan bazıları muhtemelen olumlu.
• TVD şemaları sadece ikinci derecedir; WENO gibi daha üst düzey salınımlı olmayan şemalar TVD'yi veya maksimum ilkeleri kesinlikle karşılamamaktadır. Ancak bu üst düzey programlarda yeni bir değişiklik yapar; Xiangxiong Zhang (Chi-Wang Shu öğrencisi) tarafından birkaç yeni makalede geliştirilmiştir.

Elbette, David George'un GeoClaw kodunda olduğu gibi, pozitifliği güçlendirmek için ekstra fiziksel olmayan dalgalara sahip bir Riemann çözücüsü kullanan belirli denklemler için başka birçok özel yaklaşım vardır.

Hiperbolik denklemleri herhangi bir kaynak terimi olmadan çözdüğümüz ve fiziksel başlangıç ​​koşulları sağladığımızı varsayarak, kullandığımız sayısal şemanın Toplam Varyasyon olduğundan emin olmak Azalan , hesaplanan çözümün "fizikselliğini" sağlamanın iyi bir yoludur. Bir TVD şeması tekdüzeliği koruduğundan, yeni bir minimum veya maksimum oluşturulmaz ve çözüm, umarım doğru şekilde ayarladığımız başlangıç ​​değerleriyle sınırlı kalır. Tabii ki sorun, TVD şemalarının en bariz şemalar olmamasıdır. Doğrusal şemalar arasında sadece birinci dereceden şemalar TVD'dir (Godunov 1954). 50'lerden beri, hiperbolik denklemlerin çözümü için yüksek doğruluk ve monotonikliği birleştirmek için çeşitli doğrusal olmayan TVD şemaları geliştirilmiştir.

Uygulamalarım için, Navier-Stokes denklemlerini büyük basınç / yoğunluk gradyanlarıyla çözerek , büyük degradeleri / süreksizlikleri yakalamak ve onlardan uzakta iyi doğruluğu korumak için hibrit bir MUSCL-merkezi şema kullanıyoruz. İlk MUSCL şeması (MUSCL, Monoton Yukarı Akım Merkezli Koruma Yasaları Planları anlamına gelir) Van Leer tarafından 1979'da tasarlanmıştır.

Bu konu hakkında daha fazla bilgi edinmek isterseniz, lütfen Harten, Van Leer, Lax, Sod ve Toro'nun eserlerine bakın.

Yukarıdaki cevaplar zamana bağlı problemler için geçerlidir, ancak basit bir eliptik denklemde pozitiflik de talep edebilirsiniz. Bu durumda, değişkenler için sınırlar vererek değişken bir eşitsizlik olarak formüle edebilirsiniz .

PETSc'de iki VI çözücü var. Aktif kısıtlamalardaki değişkenlerin çözülecek sistemden kaldırıldığı azaltılmış alan yöntemi kullanılır. Diğerinde yarı pürüzsüz Newton yöntemi kullanılır .

$A$

$$Au = b$$ $A$$A^{-1}$

Monoton bir matris $B\in\mathbb{R}^{n \times n}$$B\geq0$$B$

$$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$$

Ters monoton sistem matrisi uygulanan bu koşul , yukarıdaki doğrusal denklem sistemi için geçerli olduğu anlamına gelir 0 ≤ b ⇒ 0 = $A$

$$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$$ $b$$b\geq 0$

Genel olarak, bir M-matrisine yol açan ayrıklaştırma şemalarına monoton şemalar denir ve bunlar negatifliği koruyan şemalardır.