Çözümdeki Jacobian tekil olduğunda Newton'un Yöntemi için Stratejiler

ve değişkenleri için aşağıdaki denklem sistemini çözmeye çalışıyorum (diğer tüm sabitler):x $P,x_1$$x_2$

$$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$$

Bu denklem sistemini ve sırasıyla 1 ve 2 denklemlerini çözerek ve denklem 3 ile değiştirerek tek bir değişkenin tek bir denklemine dönüştürebildiğimi görebiliyorum. Bunu yaparken matlab'ı kullanabiliyorum çözümü bulmak için komut. , ve parametrelerini kullanarak gerçek çözümü olarak buldum .x 1 x 2 k 1 = k 2 = 1 r 1 = r 2 = 0,2 A = 2 P = x 1 = x 2 = $(P)$$x_1$$x_2$fzero$k_1=k_2=1$$r_1=r_2=0.2$$A=2$$P=x_1=x_2=0.5$

Ancak, orijinal 3 değişken - 3 denklem sistemine uygulanan newton yöntemini kullandığımda, gerçek çözüme ne kadar yakın olsam da, yinelemeler hiçbir zaman çözümle birleşmez . $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

İlk başta, Newton'un yöntemini uygulamamdaki bir hatadan şüphelendim. Birkaç kez kontrol ettikten sonra hiçbir hata bulamadım. Sonra bir ilk tahmin kullanmayı denedim ve lo & hadi: Jacobian tekil. Tekil bir jacobian'ın yakınsama sırasını azaltabileceğini biliyorum, ancak bunun gerçek çözüme yakınsamayı önlediğini sanmıyorum. $x_0=x^*$

Yani, sorum şu: Sistemin gerçek çözümdeki jacobian'ı tekil olduğu göz önüne alındığında:

1. Newton yönteminin köke yaklaşmayacağını kanıtlamak için başka hangi koşullar gereklidir?

2. Bir küreselleşme stratejisi (örneğin, hat arama) tekil jacobian'a rağmen yakınsamayı garanti eder mi?

(1): Bu, Jacobian'ın (sic!) Türevlerinin Jacobian'ın çözümdeki sıfır boşluğundaki davranışına bağlıdır. Uygulamada, hiç kimse bu türevleri hesaplamaz ve kesin koşulları hatırlamak için bile uğraşmadım.

(2) yakınsama sadece doğrusal olsa da çalışır.

Süper lineer yakınsama elde etmek için (en azından vakaların çoğunda), tensör yöntemleri kullanılabilir. Bkz. Örneğin,
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ indeks / X5G827367G548327.pdf

Satır araması yerine Newton yönteminizi Levenberg-Marquardt algoritmasına değiştirmeyi deneyebilirsiniz . Matlab kullanıyorsanız, uygulama yeterince basittir.