Doğrusal bir kısıtlamayla dışbükey bir işlevi en üst düzeye çıkarma (içbükey bir işlevi en aza indirme)

Sorun

burada $f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{(\sum_{i=1}^{N}x_i^2)^2}}$ ,
$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$ ve
$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

Bunu görebilir $f(.)$ formundadır $\sqrt{1+y^2}$ ve bir dışbükey fonksiyonu.
Ayrıca f (.) 'Nin [\ sqrt {2}, 2]' de sınırlı olduğu da gösterilebilir $[\sqrt{2}, 2]$.

Bu, doğrusal bir kısıtlamayla konveks minimizasyon problemidir.

Bu tür problemleri çözmek için kullanılan standart algoritmalar hangileridir?

Sorunun özel doğasını kullanarak, herhangi bir standart optimizasyon yazılımı / paketi kullanarak çözmek mümkün müdür?

Sorunun yapısından yararlanabilirsiniz, ancak sizin için yapacak hazır ambalajlı bir çözücü bilmiyorum.

Temel olarak, aradığınız şey dışbükey bir politop (veya dışbükey polihedron) üzerinde içbükey bir işlevi en aza indirmektir. Hızlı bir arama birkaç alakalı kaynak çekti (dört yıl önce doğrusal olmayan programlama üzerine bir ders aldığımda bunlardan birinin belli olduğunu hatırlıyorum):

Falk, JE ve Hoffman, KL Çöken politoplar yoluyla içbükey minimizasyon , Operations Research, 1986, Cilt. 6, s. 919-929.

Hoffman, KL Konveks kümeler üzerinden dışbükey fonksiyonların küresel olarak en aza indirilmesi için bir yöntem , Mathematical Programming, 1981, Vol. 20, s. 22-31.

Benson, HP Bir çokyüzlünün içbükey minimizasyonu için sonlu bir algoritma , Naval Research Logistics, 1985, Vol. 1, s. 165-177.

Christophe Meyer web sitesinde bir referanslar .

Google "içbükey işlevini politop üzerinden en aza indirir" (veya "politop" kelimesini "polihedron" ile değiştirirseniz) daha fazla kaynak vardır.

Birkaç yıl önce optimizasyon konulu bir konferansa katıldım. O zamanlar Matlab'ı YALMIP ile birlikte kullandık.

YALMIP Wiki

Bu problem dışbükey fonksiyonlar (DC) programlama probleminin bir farkı olarak görülebilir. DC programlama ile ilgili kapsamlı bir literatür vardır, orada ilgili çalışmaları arayabilirsiniz. En iyi bilinen yöntemlerden biri DCA yöntemidir, örneğin bakınız: http://lma.univ-pau.fr/meet/mamern09/en/Lethi-MAMERN09.pdf

DC literatürünü bir dereceye kadar inceleyen ve kullanışlı olabilecek bir diğer yeni makale: https://arxiv.org/pdf/1511.01796.pdf

Düzgün olmayan problemler için daha genel bir yöntem de kullanabilirsiniz, örneğin http://num.math.uni-goettingen.de/~ssabach/BST2013.pdf içinde verilen proxy tabanlı yöntem

Düşünmeniz için Frank Wolfe algoritmasını ve ilgili yöntemleri öneririm . Temel olarak, nesnel işlevi doğrusallaştırır ve elde edilen LP'yi her yinelemede çözersiniz. Bununla birlikte, bu yaklaşımı etkili hale getirmek için sınır eklemeniz gerektiğini düşünüyorum .$x$