* Full * multigrid algoritması tam olarak nasıl çalışır?

Bu yüzden bir V döngüsünün nasıl çalıştığını anlıyorum (ya da en azından öyle olduğuna inanıyorum). Matlab'da bir V döngüsünün 1-D, özyinelemeli versiyonunu yazdım. Ancak, FMG için kodumu çalıştırdığımda, çözümüm yakınsama değildi. Sorunumun gerçek FMG bölümünü anlamamda olduğuna inanıyorum. Şu anda bildiğim şu:

FMG Interpolation hemen önce, benim çözüm rahat ettik $u$
Ara Değer hem hata ve (?) $u$
Hatayı v döngüsüne geçirerek 2 ızgaralı bir v döngüsü gerçekleştirin (?)
Hatayı gevşetin (2. en kaba ızgarada)
İnterpolate ve hata $u$
Hata ekleyerek güncelleyin . $u$
Bir v-döngüsü çalıştırın, ardından 4. adımdan itibaren tekrarlayın.

Sipariş hakkında emin değilim, ama tam olarak enterpolasyon yaptığım ve v-döngüsüne geçtiğim konusunda da yanlış olabilirim. Algoritmadan bir şey eksiksem, lütfen bana bildirin.

multigrid

— AlanH
kaynak

"Hatayı" enterpolasyonla nerede buldunuz? (Hatayı nasıl ölçersiniz?)

$u$ $u^h \gets \mathbb{I}_H^h u^H$ $\mathbb{I}_h^H = I_h^H$

$r^h = A^h u^h - b^h$

$\tilde u^H \gets \hat I_h^H \tilde u^h$ $A$

A^{H} u^{H} = \underset{b^{H}}{\underset{⏟}{I_{h}^{H} b^{h}}} + \underset{τ_{h}^{H}}{\underset{⏟}{A^{H} {\hat{I}}_{h}^{H} {\tilde{u}}^{h} - I_{h}^{H} A^{h} {\tilde{u}}^{h}}}

$A^H u^H = \underbrace{I_h^H b^h}_{b^H} + \underbrace{A^H \hat I_h^H \tilde u^h - I_h^H A^h \tilde u^h}_{\tau_h^H}$

burada sağ tarafın kaba temsilini, ve ince ızgaranın kaba ızgara denklemi üzerindeki etkisini temsil eden ek düzeltme . İnce ızgara çözümünün kısıtlamasının kaba ızgara denklemini karşıladığına dikkat edin: . Kaba ızgara denklemini çözdükten sonra, FAS değişikliği enterpolasyonlar ve güncellenmiş bir ince çözüm . $b^H$ $\tau_h^H$ $u^{h*}$ $A^H \hat I_h^H u^{h*} = b^H + \tau_h^{H*}$ $u^h \gets \tilde u^h + I_H^h (u^H - \hat I_h^H \tilde u^h)$

— Jed Kahve
kaynak

Hata, en iyiden en kaba ızgaraya ilerlerken kalanları hesaplarken hesaplandı. Izgara başına ilk yaklaşım sadece sıfırdır, daha sonra bazı yinelemeli yöntemlerle gevşetilir.

— AlanH

(Çözümdeki ilk tahminin) hatası tüm bunlarda nasıl bir rol oynar?

— AlanH

1. Hata artıktan çok farklıdır ve genellikle yakınsamadan önce kullanılamaz (çünkü hatayı doğru bilmek, çözümü de bildiğiniz anlamına gelir). MG asla "hatayı" hareket ettirmez, sadece artıklar, eyalet ve eyalet artışları. İnce ızgara 2. FMG ilk tahmin, son ızgaranın çözeltisi değerleme de .

u^{h} \leftarrow I_{H}^{h} u^{H}

$u^h \gets \mathbb{I}_H^h u^H$

— Jed Brown

Briggs'in iki ızgaralı düzeltme şemasında özellikle kabadan ince ızgaraya enterpolasyon hatası belirtilir. İnatçı gelmek için değil, ama bu sizin açıkladığınızdan farklı mı?

— AlanH

Yinelemenin hata üzerindeki etkisini yineleme işleminin mekaniği ile karıştırdınız . Yinelemeli çözümleyicilerde sıklıkla yineleme matrisi ve benzer miktarlar hakkında konuşuyoruz . Bir yinelemedeki hata gibi davranır , ancak hata asla bir önsel olarak değerlendirilemez ve bu nedenle asla yinelemede görünmez. Yineleme matrisi ve hatanın tartışılması bir analiz aracıdır, ancak hata ancak yakınsamadan sonra değerlendirilebilir .

T = I - P^{- 1} A

$T = I - P^{-1}A$

e_{n + 1} = T e_{n}

$e_{n+1} = T e_n$

— Jed Brown