büyük yoğun düşük rütbe atama problemi

Büyük, yoğun, düşük rütbeli görevlendirme problemini çözmek için oldukça ucuz bir yöntem var mı $\max_\pi \sum_i A_{\pi i,i}$ , nerede $\pi$ tüm permütasyonlar üzerinde çalışır. $1:n$ ?

Buraya $A$ bir $n\times n$ düşük dereceli matris $r$ . Tipik boyutlar $n=10000~~$ (muhtemelen çok daha büyük), $r=15$ .

optimization

— Arnold Neumaier
kaynak

Tarafından

π i

$\pi i$ ürün için mi demek istediniz

π

$\pi$ ?

— Bill Barth

π

$\pi$ tüm permütasyonların üzerinden geçer.

— Arnold Neumaier

Olmamalı mı

A_{π (i), i}

$A_{\pi(i),i}$ sonra?

— Jack Poulson

@JackPoulson:

\i (i)

$\i(i)$ ve

π i

$\pi i$ görüntüsü için iki farklı gösterim vardır

i

$i$ permütasyon altında

π

$\pi$ .

— Arnold Neumaier

İlginç soru! Sadece depolama nedenleriyle düşük sıralı yapıdan yararlanmak mı istiyorsunuz - yani geleneksel bir atama algoritması uygularken tüm matrisi oluşturmak zorunda kalmamak için? Yoksa aramayı hızlandırmak için düşük seviyeden yararlanmanın bir yolunu mu arıyorsunuz?

— Michael Grant

Dan beri $A=R_1R_2^T$ ile $R_1, R_2\in \mathbb{R}^{n \times r}$ , sahibiz

\sum_{i} A_{π i, i} = \sum_{i} (P_{π} A)_{i, i} = trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T})

$\sum_i A_{\pi i, i} = \sum_i (P_{\pi} A)_{i, i} = \text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T)$ nerede

P_{π}

$P_{\pi}$ karşılık gelen permütasyon matrisidir

π

$\pi$ .

Herhangi $\pi$ , izleme şu şekilde hesaplanabilir:

trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T}) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{π} R_{1})_{i, k} (R_{2}^{T})_{k, i} = \sum_{i, k} ((P_{π} R_{1}) \circ R_{2})_{i, k} .

$\text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{\pi}R_1)_{i,k} (R_2^T)_{k,i} = \sum_{i,k} ((P_{\pi}R_1)\circ R_2)_{i,k}.$ (Bu miktar Frobenius ürünü olarak da bilinir ,

P_{π} R_{1} : R_{2}

$P_{\pi}R_1:R_2$ ).

Bu fikir, tüm Frobenius ürünlerinin maksimumunu bulmak için tüm permütasyonlardan ve kaba kuvvet arayışından geçmek zorunda kalma yükünü ortadan kaldırmaz ve aslında açıkça hesaplama ile aynı aritmetik karmaşıklığa sahiptir. $A=R_1R_2^T$ . Ancak, daha önce hiç biçimlendirmeniz gerekmediğinden daha düşük bellek gereksinimi vardır $A$ .

— Nico Schlömer
kaynak