İkinci derece altı yüzlü sonlu elemanlar için 8 Gauss puanı gerekli mi?

Fiziksel olmayan modlar olmadan 8 Gauss noktasından daha az noktalı altı yüzlü sonlu elemanlar için ikinci dereceden doğruluk elde etmek mümkün müdür? Tek bir merkezi Gauss noktası, fiziksel olmayan bir kesme modu sunar ve 8 Gauss noktasının standart simetrik düzenlemesi, tetrahedral ayrıklaştırmalara kıyasla pahalıdır.

Düzenleme : Birisi denklemler istedi. İlgilendiğim denklemler, dinamik veya kaastatik doğrusal olmayan elastikiyettir. Katamatatik denklemler

\nabla \cdot P (\nabla ϕ) = 0

$\nabla \cdot P\left(\nabla \phi \right) = 0$

$\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$ $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ $P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$

P (F) = μ (F - F^{- T}) + λ F^{- T} \log det F

$P(F) = \mu (F - F^{-T}) +\lambda F^{-T} \log \det F$

finite-element accuracy

— Geoffrey Irving
kaynak

Tam olarak neyi simüle ediyorsun?

— Dan

Şu anda doğrusal elastikiyet, ancak soru genel olarak doğrusal olmayan esneklik ile ilgilidir.

— Geoffrey Irving

"Fiziksel olmayan" tanımı bunlara bağlı olduğundan, muhtemelen ilgilendiğiniz denklemleri dahil etmelisiniz. Ya da en azından "fiziksel" fonksiyonların alanını kesin olarak tanımlayın.

— David Ketcheson

Denklemler eklendi.

— Geoffrey Irving

DPhi / dx ile gradyanı mı kastediyorsunuz?

— Wolfgang Bangerth

Yanıtlar:

Sonlu elemanlar katı mekanik simülasyonları ile ilgili olarak, stabilizasyon kuvvetleri kullanmadan 8'den az dördüntü noktası kullanamazsınız. Sıkıştırılamayan malzeme (sizin durumunuz) durumunda, doğruluk amacıyla en iyi çözüm karışık formülasyon kullanmaktır. Simo ve Hughes'un kitaba başvurabilirsiniz: http://books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC .

— Nicolas Tardieu
kaynak

Genel olarak, hücre başına serbestlik derecelerinden daha az kareleme noktası ile kaçamayacağınız açıktır. Bir 3d hekzahedronda üçgensel elemanlar söz konusu olduğunda, 8 serbestlik derecesi (tepe noktası başına bir tane) vardır, bu nedenle minimum kareleme noktası sayısı da sekiz olacaktır.

tersine çevrilemez ve sonuç olarak tamamen işe yaramaz. Bunun nedeni, tek noktalı kareleme formülünün, kareleme noktasında aynı değere sahip tüm doğrusal işlevler (deneme alanının bir kısmı) arasında ayrım yapamamasıdır; diğer bir deyişle, orta nokta kuralı için 'x' şekil işlevi '0' işleviyle aynıdır '-x' işleviyle aynıdır. Başka bir deyişle, deneme alanı kesin integrallere sahip boyut 2'ye sahipken, orta nokta kuralı için alanın boyut 1'i vardır, ancak iki serbestlik derecesi olsa da - bu, çözümsüz olmayan bir alanın tanımıdır.) orta nokta kuralı için 'x' şekil işlevi '0' işleviyle aynıdır, '-x' işleviyle aynıdır. Başka bir deyişle, deneme alanı kesin integrallere sahip boyut 2'ye sahipken, orta nokta kuralı için alanın boyut 1'i vardır, ancak iki serbestlik derecesi olsa da - bu, çözümsüz olmayan bir alanın tanımıdır.) orta nokta kuralı için 'x' şekil işlevi '0' işleviyle aynıdır, '-x' işleviyle aynıdır. Başka bir deyişle, deneme alanı kesin integrallere sahip boyut 2'ye sahipken, orta nokta kuralı için alanın boyut 1'i vardır, ancak iki serbestlik derecesi olsa da - bu, çözümsüz olmayan bir alanın tanımıdır.)

— Wolfgang Bangerth
kaynak

Bence Geoff'un sorusu daha ince. İyi şekillendirilmiş alanlarda (örn. İzole elemanlar olmadan) dört yüzlü alanlarda sonlu eleman boşlukları için, açıkça bütünleşme altında olan tek noktalı karelerden kaçabilirsiniz. Soru, altı yüzlü elemanlarla bir şekilde yetersiz bütünleşmenin mümkün olup olmadığıdır. Cevabı bilmiyorum, ancak kareleme noktalarının fazladan bellek hareketi gerektirmediği için ne kadar büyük bir anlaşma olduğundan emin değilim. Sonlu eleman kalıntı değerlendirmesini vectorize ettikten sonra, belleğe bağlı olması yaygındır, bu yüzden flopları daha iyi kullanabilirsiniz.

— Jed Brown

Hafıza hareketi hakkında iyi bir nokta.

— Geoffrey Irving

Jed'in noktasını genişletmek için: yukarıdaki "bariz" argümanın yanlış olmasının nedeni, her bir kareleme noktasının matrisi görmesidir . Tetrahedra için, enerji veya kuvvetleri etkilemeyen tekdüze çeviri hariç köşelerin tüm hareketlerini kapsayan, bu nedenle birinci dereceden doğruluk için bir dörtlü nokta yeterlidir.

3 \times 3

$3 \times 3$

— Geoffrey Irving

Yorumların yeni satır içerememesi oldukça zordur.

— Geoffrey Irving

@JedBrown: İyi bir nokta. Tets üzerindeki lineer fonksiyonların gradyanı sabittir ve bu nedenle kütle matrisi için yaptığım argümanı takip eden tek bir kareleme noktası yeterlidir (sertlik matrisi degradeler için kütle matrisidir :-). Öte yandan, hekzahedra üzerindeki üçgensel fonksiyonların gradyanları (anizotropik) kuadratik fonksiyonlardır, bu nedenle koordinat yönü başına kesinlikle sadece bir dörtlü noktadan fazlasına ihtiyaç vardır.

— Wolfgang Bangerth