Sayısal kareleme için yöntem seçimi

Sayısal kareleme için birkaç yöntem ailesi mevcuttur. Belirli bir integrand sınıfım varsa ideal yöntemi nasıl seçerim?

Hem integral (örneğin, pürüzsüz mü?

Bu soruların cevapları çeşitli yöntem ailelerini nasıl dışlar veya teşvik eder? Basitlik için sadece tek veya düşük boyutlu integralleri ele alalım.

Örneğin Quadpack üzerinde Wikipedia makalesi oldukça genel belirten QAGSrutin " Peter Wynn'ın Epsilon algoritması tarafından hızlanma ile, her alt aralığın içinde 21 sayılık Gauss-Kronrod dördün dayalı küresel adaptif dördün kullanır "

Bu karar nasıl verildi? Daha fazlası biliniyorsa benzer kararlar nasıl verilir?

quadrature

— MRocklin
kaynak

Bunu doğru bir şekilde cevaplamak için muhtemelen daha spesifik bilgiler gereklidir. Her ölçüye uyan hiçbir kriter yoktur, gauss quadrature genellikle çok düzgün problemler için iyi çalışır, ancak diğer quadratures hafif tekilliklerin varlığında kullanılabilir. Ancak periyodikseniz, yamuk yamuk kesebilir.

— Reid.Atcheson

@ Reid.Atcheson, sanırım şu anda soruyu cevaplıyorsunuz. En iyi yöntemin ne olduğunu sormuyorum, ne tür sorular soracağınızı ve bu cevapların size ne söyleyeceğini soruyorum. Genel olarak bu tür problemlere nasıl yaklaşılır?

— MRocklin

Her şeyden önce, bir integrali bir kara kutu olarak alması gereken çok yönlü bir kareleme rutinine ihtiyacınız varsa kendinize sormalısınız. Eğer öyleyse, uyarlanabilirliğin integralde "zor" noktaları yakalayacağını umduğunuz adaptif kareleme yapamazsınız. Piessens ve ark. uyarlanabilir bir şemada (aralığın en yüksek hata) istenen toleranslara ulaşılana kadar. Wynn-epsilon algoritması yakınsama hızlanmasına izin verir ve tipik olarak uç nokta tekilliklerinin olduğu durumlarda yardımcı olur.

Ancak, integralinizin "biçimini" veya "türünü" biliyorsanız, yönteminizi ihtiyacınız olana göre özelleştirebilirsiniz, böylece hesaplama maliyeti ihtiyacınız olan doğruluk için sınırlıdır. Yani neye bakmanız gerekiyor:

İntegrand:

Düzgünlük: Ortogonal bir polinom ailesinden bir polinom tarafından (iyi) yaklaştırılabilir mi (eğer öyleyse, Gauss quadrature iyi olacak)
Tekillikler: integral sadece uç nokta tekillikleriyle integrallere bölünebilir mi (eğer öyleyse, IMT kuralı veya çift üstel kareleme her alt aralıkta iyi olacaktır)
Hesaplamanın maliyeti nedir?
İntegral hesaplanabilir mi? Yoksa sadece sınırlı veri kullanılabilir mi?
Son derece salınımlı integral: Levin tipi yöntemleri arayın.

$|x-c|^{-\alpha}$ $c$ $\alpha$

Entegrasyon aralığı: sonlu, yarı sonsuz veya sonsuz. Yarı sonsuz veya sonsuz aralıklar söz konusu olduğunda, değişken bir dönüşümle sonlu aralığa indirgenebilir mi? Değilse, Laguerre veya Hermite polinomları Gauss quadrature yaklaşımında kullanılabilir.

Genel olarak kareleme için gerçek bir akış sayfası için bir referansım yok, ancak QUADPACK kitabı (Netlib yönetimleri değil, gerçek kitap) değerlendirmek istediğiniz integrale göre uygun rutini seçmek için bir akış sayfası var. Kitap aynı zamanda Piessens ve ark. farklı rutinler için.

Düşük boyutlu integraller için tipik olarak iç içe tek boyutlu kareleme denir. İki boyutlu integrallerin (kübik) özel durumunda, farklı entegrasyon alanlarının vakaları için entegrasyon kuralları vardır. R. Cools, küp formülleri Ansiklopedisinde çok sayıda kural topladı ve Cubpack paketinin ana yazarı . Yüksek boyutlu integraller için tipik olarak Monte Carlo tipi yöntemlere başvurulur. Bununla birlikte, makul doğruluk elde etmek için tipik olarak çok sayıda integrand değerlendirmesine ihtiyaç vardır. Düşük boyutlu integrallerde, kareleme / kübik / iç içe kareleme gibi yaklaştırma yöntemleri genellikle bu stokastik yöntemleri daha fazla gerçekleştirir.

Genel ilginç referanslar:

Quadpack, Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W .; Kahaner, David (1983). QUADPACK: Otomatik entegrasyon için alt program paketi. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-12553-2
Sayısal Entegrasyon Yöntemleri: İkinci Baskı, Ph. Davis ve Ph. Rabinowitz, 2007, Dover Matematik Kitapları, ISBN 978-0486453392

— GertVdE
kaynak

Güzel yanıt. QUADPACK neden özellikle 21 noktalı Gauss-Kronrod yöntemini seçmişti? Neden sihirli numara?

— MRocklin

@MRocklin: Sanırım doğruluk ve verimlilik arasında hoş bir değiş tokuş oldu: kareleme kuralınızı aşmak istemiyorsunuz (pahalı) ama ikisinin de çok zayıf olmasını istemiyorsunuz (uyarlanabilir kısımda çok fazla alt bölüm var) ). Tamamlamak için: QAG rutininde, kullanıcının kareleme kuralını belirtmesi gerekir; QAGS'da (ekstrapolasyon ile), varsayılan 21 nokta kuralıdır, ancak bu, genişletilmiş arama rutini QAGSE kullanılarak geçersiz kılınabilir.

— GertVdE

@GertVdE Gerçekten çok güzel bir yanıt. Orta aralıktaki tekillikleri yakalamak veya referanslar sağlamak için Clenshaw-Curtis'in kullanımını açıklayabilir misiniz? Daha önce bu şekilde kullanıldığını duymadım ve hızlı bir Google'dan herhangi bir ayrıntı bulamadım. Teşekkür ederim!

— OscarB

@OscarB: uzun gecikme için özür dilerim, net erişim olmadan dışarı çıktı (ah iyi yaşam). Quadpack §2.2.3.3 ve daha fazlasına bakınız; Branders, Piessens, "Clenshaw-Curtis kareselinin bir uzantısı", 1975, J.Comp.Appl.Math., 1, 55-65; Piessens, Branders, "Bazı değiştirilmiş anların değerlendirilmesi ve uygulanması", 1973, BIT, 13, 443-450; Piessens, Branders, "Salınımlı integrallerin hesaplanması", 1975, J.Comp.Appl.Math., 1, 153-164. 1972 ile 1980 arasında bir yerde "Robert Piessens" için bir literatür araştırması yaparsanız, birçok ilginç makale bulacaksınız.

— GertVdE