Yüksek derecede salınımlı integral hesaplamada son teknoloji nedir?

23

Hem tek boyutlu hem de daha yüksek boyutlarda yüksek derecede salınımlı integrallerin keyfi kesinliğe yaklaşmasında son teknoloji nedir?

quadrature precision numerical-analysis

— Quadrescence
kaynak

Kötü ... şimdiye kadar genel bir yöntem yok .. Sadece birçok girişimde bulunmalarını ve şimdi başarısız olmalarını bekliyorlar ve sonra ... Bazı makaleler ikramiye olduğunu iddia ediyor, ama gerçek olamayacak kadar iyi geldiğinde ... öyle.

@Gigi: SciComp'a Hoşgeldiniz! Yorumunuz biraz belirsiz; Yüksek salınımlı integrallerin yaklaşımında sanatın neden kötü olduğunu düşündüğünüzü açıklayabilir misiniz?

— Geoff Oxberry

Gerçekten de, yüksek derecede salınımlı integrallerin hesaplanmasında henüz bir "sihirli mermi" olmadığı doğrudur, ancak elimizde olanı yaparız ve eğer çalışırlarsa daima minnettarız.

— JM

19

Şimdi küpler (çok boyutlu entegrasyon) için neler yapıldığına tam olarak aşina değilim, bu yüzden kendimi dörtlü formüller ile sınırlayacağım.

Salınımlı integrallerin karlandırılması için bir dizi etkili yöntem vardır. Sonlu salınımlı integraller için uygun yöntemler vardır ve sonsuz salınımlı integraller için yöntemler vardır.

Sonsuz salınımlı integraller için, kullanılan en etkili yöntemlerden ikisi, Longman yöntemi ve Ooura ve Mori'ye bağlı olarak modifiye edilmiş çift üstel kuadratürdür. (Ancak Arieh Iserles'in bu iki makalesine de bakınız .)

Longman'ın metodu, entegrasyon aralığını bölerek salınımlı integrali alternatif bir seriye dönüştürmeye ve ardından alternatif seriyi bir dizi dönüşüm metodu ile toplamaya dayanır. Örneğin, formun osilatör bir integralini birleştirirken

\int_{0}^{\infty} f (t) \sin t d t

$\int_0^\infty f(t)\sin\,t\mathrm dt$

biri bunu alternatif toplama dönüştürür

\sum_{k = 0}^{\infty} \int_{k π}^{(k + 1) π} f (t) \sin t d t

$\sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t)\sin\,t\mathrm dt$

Bu değişken toplamın şartları, Romberg'in şeması veya Gaussian karesi gibi bazı karesel yöntemlerle hesaplanmaktadır. Longman'ın orijinal metodu Euler dönüşümünü kullandı , fakat modern uygulamalar Euler'in yerini Shanks dönüşümü veya Levin dönüşümü gibi daha güçlü yakınsama hızlandırma yöntemleriyle değiştirdi .

Çift üstel dördün yöntemi, diğer taraftan, değişken akıllı bir değişiklik yapar ve sayısal olarak dönüştürülmüş integrali değerlendirmek için daha sonra yamuk kuralı kullanır.

Sonlu salınımlı integraller için, Piessens (QUADPACK'in katkıda bulunanlarından biri) ve Branders, iki makalede , Clenshaw-Curtis quadrature'in bir modifikasyonunu (yani, integrand'in nonoscillatory kısmının bir Chebyshev polinomunun genişlemesini inşa eder) ayrıntılandırır. Öte yandan, Levin'in metodu kuadratür için bir sıralama metodunu kullanır. (Eski standby'nin daha pratik bir sürümü olduğu söylendi, Filon'un metodu, ama onunla ilgili hiçbir tecrübem yok.)

Bunları önceden hatırladığım yöntemler; Salınım integralleri için diğer iyi yöntemleri unuttuğuma eminim. Onları hatırlarsam daha sonra düzenleyeceğim.

— JM
kaynak

11

$\sin(t)$ $\exp(it)$ $J_0(t)$ $\exp(i g(t))$ $w(t)$ )".

İlk başta, osilatör entegrasyon yöntemleri belirli osilatörlere odaklanmıştır. As JM bahsedilen başlıcaları, FILON yöntemi ve sonlu aralığı integraller için Clenshaw-Curtis yöntemi (bu iki yakından ilişkilidir) ve seri ekstrapolasyon göre yöntem ve sonsuz aralığı integraller için Ooura ve Mori çift üstel yöntemi içerir.

Daha yakın zamanlarda, bazı genel yöntemler bulunmuştur. İki örnek:

$\exp(i g(t))$ $w(t)$
Huybrechs ve Vandewalle'ın integralin salınımlı olmadığı karmaşık bir yol boyunca analitik devamına dayanan yöntemi ( Huybrechs ve Vandewalle 2006 ).

Daha genel yöntemler için sonlu ve sonsuz aralıklı integraller için yöntemler arasında hiçbir ayrım gerekli değildir, çünkü kompaktlaştırıcı bir dönüşüm, sonsuz bir integralde uygulanabilmektedir; farklı bir osilatör.

Levin'in yöntemi, boyutlar ve diğer yollar üzerinde yinelenerek birçok boyuta genişletilebilir, ancak literatürde açıklanan tüm yöntemleri bildiğim kadarıyla tek boyutlu örnek noktaların dış ürünü olan örnek noktalara veya başka bir şeye sahiptir. Bu boyutla birlikte üssel olarak büyüyor, bu yüzden hızla elden çıkıyor. Yüksek boyutlar için daha verimli yöntemlerin farkında değilim; Herhangi bir numunenin seyrek bir ızgara üzerinde yüksek boyutlarda bulunabileceği tespit edilirse, uygulamalarda yararlı olacaktır.

Daha genel yöntemler için otomatik yordamlar oluşturmak, normalde integrandinizi bir işlev / yordam olarak programlamak ve onu tümleştirici yordamına geçirmek için beklediğiniz çoğu programlama dilinde (C, Python, Fortran, vb.) Zor olabilir. Genel yöntemlerin integrandin yapısını bilmesi gerekir (hangi kısımlar osilasyona bakar, hangi tip osilatör vb.) ve onu "kara kutu" olarak değerlendiremez.

— Andrew Moylan
kaynak

Huybrechs / Vandewalle gazetesi daha önce görmediğim bir şeydi, yani bunun için +1. Asimptotik açılımların Huybrechs / Vandewalle'da yer almaması dışında, Özel işlevleri değerlendirmek için Temme ve diğerleri tarafından yapılan araştırmalara benzer görünüyor. Ek olarak, Trefethen'in yüz basamaklı mücadelesinin ilk sorunu için birkaç çözücü tarafından benzer bir yaklaşımın yapıldığını düşünüyorum.

— JM,

2

Ayrıca Marnix Van Daele ve ortak yazarların çalışmalarını da kontrol edebilirsiniz. Örneğin buna ve buna bakın .

— GertVdE
kaynak