Simetrik matrisin çözümünde, simetrisi olmayan matrislere kıyasla sayısal avantajlar var mı?

3 çiftli denklem sistemine sonlu farklar yöntemi uyguluyorum. Denklemlerin ikisi birbirine bağlı değildir, ancak üçüncü denklem diğer ikisiyle de eşleşir. Denklemlerin sırasını değiştirerek, den kadar katsayı matrisinin simetrik hale geldiğini fark ettim . $(x, y, z)$ $(x, z, y)$

Bunu yapmanın bir avantajı var mı? Örneğin, kararlılık veya verimlilik / çözüm hızı açısından. Matrisler oldukça seyrektir, eğer önemliyse, sıfır olmayan terimler merkezi köşegenler boyuncadır.

finite-difference symmetry

— boyfarrell
kaynak

Evet, simetrik bir sistemi çözmek simetrik olmayan bir sistemden çok daha az çaba gerektirir. Ayrıca, katsayı matrisinizin pozitif olarak tanımlandığını gösterebilirseniz, o zaman iyi bir yerdesiniz demektir.

— JM

Kesinlikle!

Öncelikle, bazı lineer cebir sistemleri matrisin sadece yarısını depolayacak kadar akıllıdır, bu size bir miktar bellek tasarrufu sağlayabilir. Ancak durum böyle olmasa bile, sayısal doğrusal cebirdeki çeşitli algoritmalar simetriden faydalanacaktır.

Örneğin, simetrik bir matris verildiğinde, herhangi bir özdeğer çözücü, tüm öz değerlerin gerçek değerli olduğunu hemen bilecektir ve çözüm yöntemi bu gerçeği kullanabilir.

Birçok insanın düşüneceği tipik bir şey, denklem sistemlerinin çözümü için Krylov altuzay yöntemleridir. $Ax=b$ : Sorununuz simetrik ise, GMRES gibi simetrik olmayan problem için yöntemlere ihtiyacınız olmadığını biliyorsunuz ve MINRES gibi daha az bellek yoğun bir şeye ya da - matrisiniz de pozitif olarak tanımlanmışsa - CG. Krylov yöntemlerinin yakınsama davranışı permütasyonlardan etkilenmez, bu nedenle, izinsiz sisteminiz için simetrik yöntemler bile kullanabilirsiniz.

Başka bir örnek matrisinizin alt üçgen parçasına ve üst üçgen parçasına çarpanlara ayrılmasıdır . Eğer daha sonra, simetriktir ve tek bir faktör (saklamak zorunda Cholesky ayrışma ). $A=LU$ $L$ $U$ $A$ $A=LL^T$

— Nico Schlömer
kaynak

“... ve çözüm yöntemi bu gerçeği, örneğin hesaplama sırasında hayali kısımdaki yuvarlama hatalarının kesilmesiyle kullanabilir.” - daha çok bilgi işlem ortamının simetriden faydalanan ve gerçek sonuçlar vereceği garanti edilen bir yöntem kullandığı gibi.

— JM