Poisson denklemi: Lagrange çarpanları ile sınır koşulu olarak tam gradyan uygulayın

İki boyutta Poisson denklemi tarafından yönetilen fiziksel bir sorunum var iki gradyan bileşenlerinin ölçümler ∂ U / ∂ X ve ∂ U / ∂ y sınırının bir kısmı boyunca, Γ m , yani empoze etmek istiyorum ∂

$$-\nabla^2 u = f(x,y), \; in \; \Omega$$ $\partial{u}/\partial{x}$$\partial{u}/\partial{y}$$\Gamma_m$ ve uzak alana yayılır. $$\frac{\partial{u}}{\partial{x_i}}_0 = g_m, \; on \; \Gamma_m$$

Teğetsel degrade bileşeni, , bir Dirichlet koşulunu entegre edebilir ve sonra uygulayabilirim, böylece ∫Γm∂$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(t,0)}$ Aynı anda normal bileşeni dayatabilmek için, ∂

$$\int_{\Gamma_m}\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(t,0)} \, ds = u_0$$ , topladım, Lagrange çarpanlarından geçmek zorunda kalacağım.$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(n,0)}$

Bence varyasyon formu Uzun süre,https://answers.launchpad.net/fenics/+question/212434https://answers.launchpad.net/fenics/+questiongibi ilgili sorunlardan elde edilen bilgilerden bir araya getirmeye çalıştım. / 216323

$$\int_\Omega \nabla{u} \cdot\nabla{v}\, dx - \lambda \int_{\Gamma_m} ( \frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(n,0)}-g_m ) v \,ds = \int_\Omega f\, v\, dx$$

ama hala nerede yanlış yaptığımı göremiyorum. Şu ana kadar çözüm denemem:

from dolfin import *

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquareMesh(64, 64)
V = FunctionSpace(mesh, "Lagrange", 1)
R = FunctionSpace(mesh, "R", 0)
W = V * R

# Create mesh function over cell facets
boundary_parts = MeshFunction("uint", mesh, mesh.topology().dim()-1)

# Mark left boundary facets as subdomain 0
class LeftBoundary(SubDomain):
    def inside(self, x, on_boundary):
        return on_boundary and x[0] < DOLFIN_EPS

Gamma_Left = LeftBoundary()
Gamma_Left.mark(boundary_parts, 0)

class FarField(SubDomain):
    def inside(self, x, on_boundary):
        return on_boundary and ( (x[0] > 1.0-DOLFIN_EPS) \
               or (x[1]<DOLFIN_EPS) or (x[1]> 1.0-DOLFIN_EPS) )

Gamma_FF = FarField()
Gamma_FF.mark(boundary_parts, 1)

# Define boundary condition
u0 = Expression("sin(x[1]*pi)")
bcs = [DirichletBC(V, u0, Gamma_Left)]

# Define variational problem
(u, lmbd) = TrialFunctions(W)
(v, d) = TestFunctions(W)

f = Expression("10*exp(-(pow(x[0] - 0.5, 2) + pow(x[1] - 0.5, 2)) / 0.02)")
g = Constant(0.0)
h = Constant(-4.0)
n = FacetNormal(mesh)

F = inner(grad(u), grad(v))*dx + d*dot(grad(u),n)*ds(0) + lmbd*dot(grad(v),n)*ds(0)-\
   (f*v*dx + g*v*ds(1) + h*d*ds(0) + lmbd*h*ds(0))

a = lhs(F)
L = rhs(F)

# Compute solution
A = assemble(a, exterior_facet_domains=boundary_parts)
b = assemble(L, exterior_facet_domains=boundary_parts)
for bc in bcs: bc.apply(A, b)

w = Function(W)
solve(A, w.vector(), b, 'lu')
(u,lmbd) = w.split()

# Plot solution
plot(u, interactive=True)

ki bu Poisson denklemine bir çözümü andırmayacak kadar gürültülü bir sonuç verir. Kombine fonksiyon uzaylarıyla bir ilgisi var gibi görünüyor, ama hatayı bulamıyorum.
Herhangi bir yardım veya işaretçiler doğru yönde takdir ediyorum - şimdiden çok teşekkürler!
Şerefe
Markus

Birincisi, genel bir nokta: kısmi diferansiyel operatör için keyfi sınır koşulları reçete edemez ve kısmi diferansiyel denklemin (her zaman hem operatör hem de sınır koşullarını içerir) iyi bir şekilde konumlandırılmasını bekleyemezsiniz, yani sürekli olarak veri - hepsi bir şeyi hesaplamaya çalışmak için gerekli bir koşuldur.

Operatöre bağlı olarak, genellikle uygulayabileceğiniz oldukça sayıda geçerli koşul vardır (bir tat almak için Lions ve Magenes'in üç hacimli monografisine bakın). Bununla birlikte, yapmaya çalıştığınız (ikinci dereceden eliptik bir PDE için aynı sınırın (bir kısmı) hem Dirichlet hem de Neumann koşullarına eşdeğer olan tam degradeyi belirtin) aralarında değil - bu yanal Cauchy problemive kötü bir durum söz konusudur: belirli bir sınır veri çiftinin bir çözümü kabul ettiğine dair bir garanti yoktur ve biri mevcut olsa bile, verilerdeki küçük bozulmalarla ilgili bir istikrar yoktur. (Aslında, Hadamard anlamında orijinal kötü pozlanmış problem ve iyi pozlamayı tartışırken sınır koşullarını neden göz ardı edemeyeceğinizin klasik örneğidir. Cauchy'nin problemine ilişkin derslerinde doğrusal kısmi diferansiyelde açık bir örnek bulabilirsiniz. 1920'lerden denklemler .)

$(r,R)\times(a,b)$$x=r$$R$$x\to \infty$$y=a$$y=b$

1. Sınır koşullarını dayatabilirseniz (Neumann, Robin, Dirichlet - bu arada teğetsel türevin entegrasyonundaki sabiti düzeltmeniz gerekir), o zaman degradenizin normal bileşenlerini Neumann koşulu olarak kullanmak yeterlidir. (sabit modu düzeltebiliyorsanız) veya teğet bileşenleri Dirichlet koşulu olarak entegre edin. Her iki koşul da muhtemelen aynı işleve karşılık geldiğinden, her iki şekilde de aynı çözümü alırsınız.

2. $y=a$$y=b$$-\Delta u=f$$-\Delta u + \varepsilon \Delta^2 u=f$$\varepsilon>0$$H^2$$u$$u_\varepsilon$$u$$\varepsilon\to0$

   $H^2$

Değiştirilmiş probleminize çözümün Poisson problemine bir çözüm olmasını bekleyemezsiniz, çünkü problemi iyi bir şekilde ortaya koymak için bir şekilde değiştirmeniz gerekir.

Olası problem formülasyonunun minimize etmek olduğu tahmin edilebilir.

$$F(u, \lambda) = \int_\Omega \frac{1}{2}|\nabla u|^2 \;\mathrm{d}x - \int_\Omega f u \;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} g u \;\mathrm{d}S + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \lambda (u-u_\mathrm{D})\;\mathrm{d}S$$ $(u,\lambda) \in V\times L^2(\Gamma_\mathrm{N})$$V = \{v\in H^1;v|_{\Gamma_\mathrm{D}}=0\}$$\Gamma_\mathrm{D}$$u_\mathrm{D}$$\Gamma_\mathrm{N}$$F(u)$ $$0 = \mathrm{D}F(u)[v] = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\mathrm{d}x - \int_\Omega fv\;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} gv\;\mathrm{d}S \quad \forall v\in V,$$ ${\Gamma_\mathrm{N}}$${\Gamma_\mathrm{D}}$ $$0 = \mathrm{D}F(u,\lambda)[v,\mu] = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\mathrm{d}x - \int_\Omega fv\;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} gv\;\mathrm{d}S \quad + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \lambda v\;\mathrm{d}S + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \mu (u-u_\mathrm{D})\;\mathrm{d}S \quad \forall (v,\mu)\in V\times L^2(\Gamma_\mathrm{N}),$$ $-\Delta u=f$$\frac{\partial u}{\partial\mathbf{n}} = g-\lambda$$\Gamma_\mathrm{N}$$\Gamma_\mathrm{N}$

$\lambda\ll|g|$

$\Gamma_\mathrm{D}$$v\in V$$\Gamma_\mathrm{D}$

Sonuç, ikinci dereceden PDE'nin iki bağımsız sınır koşulunu kabul etmesini bekleyemeyeceğinizdir.

---

$F(u,\lambda)$$\mathrm{D}F(u,\lambda)[v,\mu]$derivative()

$F(u,\lambda)$$\lambda\in L^2(\Gamma_\mathrm{N})$$\lambda\in L^2(\Omega)$$\lambda\in\mathbb{R}$

Yaklaşımınız kesinlikle uygulama ve muhtemelen formülasyonunuz nedeniyle çalışmaz.

Dirolflet koşullarını dolfin'e dayatmak, sonunda test alanınızın karşılık gelen DOF'larını sıfıra ayarlar.

Bu fenik kılavuzundan bir alıntıdır :

Bölüm 3.3.9 (son): Dirichlet sınır koşulunun doğrusal bir sisteme uygulanması, verilen değere ayarlanması gereken tüm serbestlik derecelerini tanımlayacak ve çözümü, sınır koşuluna uyacak şekilde doğrusal sistemi değiştirecektir. Bu, sıfırlama ve Dirichlet değerlerine karşılık gelen matris satırlarının diyagonaline 1 eklenmesi ve Dirichlet değerini sağ taraf vektörünün karşılık gelen girişine eklenmesi ile gerçekleştirilir [...]

$v$$\Gamma_m$

Özet olarak, dolfin'deki varsayılan rutini kullanarak Dirichlet ve diğer koşulları aynı sınırlara uygulayamazsınız.

Ancak, bunu uygulamanızda düzeltmeye çalışmadan önce, matematiksel formülasyonunuz için doğru test alanlarını bulun (@Jan Blechta'nın da bahsettiği gibi).