Değişken hızlı adveksiyon denklemi tutucu olabilir mi?

Değişken hız katsayısı ile adveksiyon denklemini biraz daha iyi anlamaya çalışıyorum. Özellikle denklemin nasıl muhafazakar olabileceğini anlamıyorum.

Adveksiyon denklemi ,

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (v u) = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$

$u(x,t)$ bazı fiziksel türlerin ( $cm^{-3}$ ) veya yaratılamayan veya yok edilemeyen diğer fiziksel miktarların konsantrasyonu olarak yorumlayalım . $u(x,t)$ etki alanımıza entegre edersek sabit kalmalıyız,

\int_{x_{min}}^{x_{maksimum}} u (x, t) d x = sabit

$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$

(Muhafazakar olarak kastettiğim bu.)

Şimdi hızın uzayın (ve zamanın), bir fonksiyonu olmasına izin $\boldsymbol{v}(x,t)$ verirsek, vermek için zincir kuralı uygulanmalıdır.

\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} + \underset{?}{\underset{⏟}{u \frac{\partial v}{\partial x}}} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$

Son terim kaynak terime "benziyor" ve kafa karıştırıcı bulduğum şey bu. Hız alanının diverjansına bağlı olarak miktarını artıracak veya azaltacaktır $u$ .

Bu sorunun ardından , koruma sınır koşullarının nasıl uygulanacağını anlıyorum. Ancak, değişken hız adveksiyon denklemi için, koruma kuralı koşullarının, zincir kuralı uygulanarak eklenen ek "kaynak terim" nedeniyle nasıl türetilebileceğini anlamıyorum . Bu denklem tutucu olabilir mi? Öyleyse, doğru sınır koşulları nasıl uygulanabilir?

advection conservation

— boyfarrell
kaynak

Taşımacılıktaki temel miktar, akış için akıdır , . Diverjans teoremi, $\mathbf v u$

\int_{Ω} \nabla \cdot (v u) = \int_{\partial Ω} (v u) \cdot n .

$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$

Bir denklem, bu eşitliği koruduğunda muhafazakârdır. İle 1D bırakarak ve aşağıdaki denklem kullanılarak Elimizdeki, $\Omega = (a,b)$ $u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

(\int_{bir}^{b} u)_{t} = \int_{bir}^{b} u_{t} = - \int_{bir}^{b} (v u)_{x} = - v u |_{bir}^{b}

$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$

burada sağdaki terim sadece sol ve sağ sınırlar arasındaki akı farkıdır.

İkinci gözleminizle ilgili olarak, konservatif olmayan (ıraksamayan) form yanıltıcıdır (ve sadece pürüzsüz çözümler için haklıdır). Ürün olduğu değil ise tutucu taşıma diverjans içermeyen (1D, yani sabit değildir). Konservatif forma bağlı kalmalı ve koruma özelliklerini değerlendirirken zincir kuralını uygulama isteğine direnmelisiniz. $\mathbf v \cdot \nabla u$ $\mathbf v$

— Jed Kahve
kaynak

Gerçekten net bir cevap için teşekkür ederim, yine, Jed! Sanırım bunun için bir takip sorusu soracağım, ancak önce önerinizi uygulamaya çalışmamız gerekiyor.

— boyfarrell