Adveksiyon-difüzyon denklemine uygulanan Neumann sınır koşullarını kullanırken fiziksel miktarın korunması

Farklı sınır koşullarını uyguladığımda, difüzyon difüzyon denkleminin farklı davranışlarını anlamıyorum. Motivasyonum difüzyon ve tavsiye altında gerçek bir fiziksel nicelik (parçacık yoğunluğu) simülasyonu. Parçacık yoğunluğu iç kısımda kenarlardan dışarı akmadıkça korunmalıdır. Bu mantıkla, Neumann sınır şartlarını zorlarsam , sistemin uçlarını $\frac{\partial \phi}{\partial x}=0$(solda ve sağda) o zaman sistem"kapalı"olmalıdır,yani eğersınırdakiakışsıfır ise o zaman parçacık kaçamaz.

Aşağıdaki tüm simülasyonlar için, ben tüm simülasyon var adveksiyon-difüzyon denklemi Crank-Nicolson ayrıştırmayı uygulanmış ve adres $\frac{\partial \phi}{\partial x}=0$sınır şartları. Bununla birlikte, matrisin ilk ve son satırları için (sınır koşulu satırları)$\beta$iç değerden bağımsız olarak değiştirilmesineizin veririm. Bu, uç noktaların tamamen örtük olmasını sağlar.

Aşağıda 4 farklı konfigürasyon tartışıyorum, bunlardan sadece biri beklediğim gibi. Sonunda uygulamamı tartışıyorum.

Sadece yayınım sınırı

Burada tavsiye şartları, hızı sıfıra ayarlayarak kapatılır.

Yalnızca dağılma , = 0.5 (Crank-Niscolson) ile tüm noktalarda$\boldsymbol{\beta}$

Puls alanı azaltılarak görüldüğü gibi miktar korunmaz.

Yalnızca dağılma, iç noktalarda = 0.5 (Crank-Niscolson) ve sınırlarda = 1 (tam örtülü)$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\beta}$

Sınırlar üzerinde tam örtülü denklem kullanarak beklediğim şeyi elde ederim: partikül kaçmaz . Bunu partikül difüzyonu olarak korunan alanla görebilirsiniz. Sınır noktalarında seçimi neden durumun fiziğini etkilemeli? Bu bir hata mı yoksa beklenen mi?$\beta$

Yayınım ve tavsiye

Tavsiye terimi dahil edildiğinde, sınırlardaki değeri çözümü etkilemiyor gibi görünüyor. Bununla birlikte, sınırların "açık" olduğu tüm durumlarda, yani parçacıklar sınırlardan kaçabilir. Bu neden böyle?$\beta$

Tüm noktalarda = 0.5 (Crank-Niscolson) ile Görüş ve Difüzyon$\boldsymbol{\beta}$

İç kısımlarda = 0.5 (Crank-Niscolson) ve sınırlarda = 1 (tam örtülü) ifadesi ve yayınımı$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\beta}$

Adveksiyon-difüzyon denkleminin uygulanması

Tavsiye-difüzyon denklemi ile başlayarak,

$\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \boldsymbol{v}\frac{\partial \phi}{\partial x}$

Crank-Nicolson kullanarak yazma,

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( \phi_{j-1}^{n} - 2\phi_{j}^{n} + \phi_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( \phi_{j-1}^{n+1} - 2\phi_{j}^{n+1} + \phi_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

Not bu Krank Nicolson için = 0.5, tam kapalı = 1, ve, tam olarak açık için = 0.$\beta$$\beta$$\beta$

İşaretlemeyi basitleştirmek için, yerine geçelim.

$s = D\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2} \\ r = \boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2 \Delta x}$

ve zaman türevinin bilinen değerini sağ tarafa taşıyın ,$\phi_{j}^{n}$

$\phi_{j}^{n+1} = \phi_{j}^{n} + s \left( 1-\beta \right) \left( \phi_{j-1}^{n} - 2\phi_{j}^{n} + \phi_{j+1}^{n} \right) + s \beta \left( \phi_{j-1}^{n+1} - 2\phi_{j}^{n+1} + \phi_{j+1}^{n+1} \right) + r \left( 1 - \beta \right) \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + r \beta \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right)$

Faci terimlerini verir,$\phi$

$\underbrace{\beta(r - s)\phi_{j-1}^{n+1} + (1 + 2s\beta)\phi_{j}^{n+1} -\beta(s + r)\phi_{j+1}^{n+1}}_{\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\phi^{n+1}}} = \underbrace{ (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n}}_{\boldsymbol{M\cdot}\boldsymbol{\phi^n}}$

Biz matris şeklinde bilgileri hangi burada,$\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\phi^{n+1}} = \boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{\phi^{n}}$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1+2s\beta & -\beta(s + r) & & 0 \\ \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) \\ 0 & & \beta(r-s) & 1+2s\beta \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & & 0 \\ (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) \\ 0 & & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) \\ \end{matrix} \right)$

Neumann sınır koşullarını uygulama

NB tekrar türev üzerinden çalışıyor sanırım hatayı tespit ettim. Sınır koşulunun sonlu farkını yazarken tamamen örtük bir şema ( = 1) kabul ettim . Burada bir Crank-Niscolson şeması varsayarsanız, karmaşıklık çok fazla olur ve alanın dışındaki düğümleri elimine etmek için ortaya çıkan denklemleri çözemedim. Ancak, bu mümkün görünebilir, iki bilinmeyenli iki denklem var, ancak başaramadım. Bu muhtemelen yukarıdaki birinci ve ikinci grafikler arasındaki farkı açıklar. Bence sadece sınır noktalarında = 0.5 olan arazilerin geçerli olduğu sonucuna varabiliriz .$\beta$$\beta$

Sol taraftaki akının olduğu varsayılır (tam olarak kapalı bir form varsayarak),

$\frac{\partial\phi_1^{n+1}}{\partial x} = \sigma_L$

Bunu ortalanmış fark olarak yazmak,

$\frac{\partial\phi_1^{n+1}}{\partial x} \approx \frac{\phi_2^{n+1} - \phi_0^{n+1}}{2\Delta x} = \sigma_L$

bu nedenle, $\phi_0^{n+1} = \phi_{2}^{n+1} - 2 \Delta x\sigma_L$

Bunun , sorunun etki alanının dışında olan bir düğümünü dikkat edin. Bu düğüm ikinci bir denklem kullanılarak elimine edilebilir. düğümünü şöyle yazabiliriz:$\phi_0^{n+1}$$j=1$

$\beta(r - s)\phi_0^{n+1} + (1+2s\beta)\phi_1^{n+1} - \beta(s+r)\phi_2^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n}$

Sınır koşulunda bulunan değerinde yer değiştirmek , = 1 satırı için aşağıdaki sonucu verir ,$\phi_0^{n+1}$$j$

$(1+2s\beta)\phi_1^{n+1} - 2s\beta\phi_2^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n} + 2\beta(r-s)\Delta x\sigma_L$

Son satır için aynı prosedürü gerçekleştirmek ( = ) verim,$j$$J$

$-2s\beta\phi_{J-1}^{n+1} + (1+2s\beta)\phi_J^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{J-1}^{n} + (1 - 2s(1-\beta))\phi_{J}^{n} + 2\beta(s+r)\Delta x\sigma_R$

Sonunda sınır satırlarını örtük kılmak (setting = 1),$\beta$

$(1+2s)\phi_1^{n+1} - 2s\phi_2^{n+1} = \phi_{j-1}^{n} + 1\phi_{j}^{n} + 2(r-s)\Delta x\sigma_L$

$-2s\phi_{J-1}^{n+1} + (1+2s)\phi_J^{n+1} = \phi_{J}^{n} + 2(s+r)\Delta x\sigma_R$

Bu nedenle Neumann sınır koşullarında matris denklemini yazabiliriz, ,$\boldsymbol{A}\cdot\phi^{n+1} = \boldsymbol{M}\cdot\phi^{n} + \boldsymbol{b_N}$

nerede,

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1+2s & -2s & & 0 \\ \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) \\ 0 & & -2s & 1+2s \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & 0 \\ (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) \\ 0 & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{b_N} = \left( \begin{matrix} 2 (r - s) \Delta x \sigma_L & 0 & \ldots & 0 & 2 (s + r) \Delta x \sigma_R \end{matrix} \right)^{T}$

Şu anki anlayışım

• Birinci ve ikinci arsalar arasındaki farkın yukarıda açıklanan hatayı dikkate alarak açıklandığını düşünüyorum.

• Fiziksel miktarın korunmasına ilişkin olarak. I neden olduğunu düşünüyoruz, burada belirtildiği gibi , bir dalga sadece geçer, böylece ters yönde yayılma izin vermez yazdım şeklinde adveksiyon denklemi sıfır akı sınır koşulları için bile . Koruma konusundaki ilk sezgilerim sadece tavsiye süresi sıfır olduğunda uygulanır (bu alanın korunduğu 2 numaralı arsadaki çözümdür).

• Hatta ile Neumann sıfır akı sınır koşulları kütle hala sistemi terk bu durumda doğru sınır koşulları, çünkü, bu , Robin sınır koşulları içinde toplam akı belirtilen . Dahası, Neunmann durumu kütlenin bölgeyi difüzyon yoluyla terk edemediğini belirtir, savunuculuk hakkında hiçbir şey söylemez. Temel olarak duyduklarımız difüzyona kapalı sınır koşulları ve savunmaya açık sınır koşullarıdır. Daha fazla bilgi için buradaki cevaba bakınız, Derecede sıfır sınır koşulunun adveksiyon-difüzyon denkleminde uygulanması$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0$$j = D\frac{\partial \phi}{\partial x} + \boldsymbol{v}\phi = 0$.

Katılıyor musunuz?

• Robin sınır koşullarının nasıl uygulanacağı hakkında bir eğitim.

Bence sorunlarınızdan biri (yorumlarınızda gözlemlediğiniz gibi) Neumann koşulları, aradığınız koşullar değil, yani miktarınızın korunmasını gerektirmez. Doğru koşulu bulmak için PDE'nizi olarak yeniden yazın.

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) + S(x,t) .$$

Şimdi terimi parantez içinde görünür, olan toplam akı ve bu muhafaza etmek için sınırları üzerinde sıfıra koymak gerekir miktardır . ( Genelliğin uğruna ve yorumlarınız için ekledim .) Uygulamanız gereken sınır koşulları (boşluk alanınızın olduğunu varsayalım )$D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi = 0$$\phi$$S(x,t)$$(-10,10)$

$$D\frac{\partial \phi}{\partial x}(-10) + v \phi(-10) = 0$$

sol taraf için ve

$$D\frac{\partial \phi}{\partial x}(10) + v \phi(10) = 0$$

sağ taraf için. Bunlar, sözde Robin sınır koşulu (Vikipedi'nin bunların açıkça tavsiye-yayılma denklemleri için yalıtıcı koşullar olduğunu söylediğini unutmayın).

Bu sınır koşullarını belirlerseniz, aradığınız koruma özelliklerini elde edersiniz. Aslında, uzay alanı üzerinde bütünleşerek,

$$\int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx = \int \frac{\partial}{\partial x} \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) dx + \int S(x,t) dx$$

Sağ taraftaki parçaların entegrasyonunu kullanarak

$$\int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx = \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right)(10) - \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right)(-10) + \int S(x,t) dx$$

Şimdi, iki merkezi terim sınır şartları sayesinde ortadan kalkar. Zamanla bütünleşerek,

$$\int_0^T \int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx dt = \int_0^T \int S(x,t) dx dt$$

ve eğer ilk iki integrali değiştirmemize izin verilirse ,

$$\int \phi(x,T) dx - \int \phi(x,0) dx = \int_0^T \int S(x,t) dx$$

Bu, alanın dıştan yalıtıldığını gösterir. Özellikle, , korunumunu alırız .$S=0$$\phi$